AMC 10/12
TMAS
里特维克·鲁斯塔吉
tmasacademy.com 第1版
里特维克·鲁斯塔吉
目录
1 信息 3
1.1 关于TMAS学院 3
1.2 为TMAS学院贡献的机会 3
1.3 关于作者:里特维克·鲁斯塔吉 4
1.4 备战AMC 10和AMC 12的益处 5
1.5 如果书中出现错误怎么办？ 5
1.6 还有其他问题或疑虑吗？ 5
1.7 致谢 6
1.8 你应了解的AMC 10/12信息 7
1.9 提高分数的策略 7
1.10 晋级AIME与USA(J)MO的预期路径 8
2 数论 9
2.1 基础:素数(Prime)与合数(Composite Numbers) 9
2.2 倍数、约数、素因数分解(Prime Factorization) 10
2.3 因数个数与所有因数之和 15
2.4 阶乘与回文数(Palindromes) 21
2.5 不同进制下的数 25
2.6 处理个位数 29
2.7 模运算(Modular Arithmetic)导论 30
2.8 费马小定理(Fermat's Little Theorem)与欧拉函数(Euler's Totient Function) 32
2.9 中国剩余定理(Chinese Remainder Theorem) 34
2.10 综合题 38
3 代数 49
3.1 文字题 49
3.2 数列与级数 51
3.3 多项式 54
3.4 对数:仅AMC 12 62
3.5 方程因式分解 68
3.6 方程组 72
3.7 不等式 77
3.8 函数方程 80
3.9 望远镜求和 82
3.10 取整函数 85
3.11 递归数列 88
3.12 综合题 90
4 组合数学 96
4.1 组合数学基本原理 96
4.2 集合与容斥原理(PIE) 101
4.3 路径计数与双射 102
4.4 星与棒 104
4.5 二项式 109
4.6 递归 114
4.7 条件概率 117
4.8 期望值(Expected Value) 119
4.9 状态(Markov链) 121
4.10 几何概率 122
5 几何 126
5.1 角 126
5.2 相似三角形 134
5.3 特殊三角形 140
5.4 面积 147
5.5 特殊点 153
5.6 与边长比相关的面积比 162
5.7 圆(第一部分) 166
5.8 圆(第二部分):圆内接四边形 176
5.9 解析几何 179
5.10 三维几何 185
5.11 综合题 188
6 三角学与复数 200
6.1 三角学基础 200
6.2 余弦定理与正弦定理 203
6.3 三角恒等式 208
6.4 复数 214
6.5 棣莫弗定理(De Moivre's Theorem)与欧拉定理(Euler's Theorem) 216
信息
§1.1 关于TMAS学院
本书由我(Ritvik Rustagi)为您呈现。TMAS学院(TMAS Academy，前身为Explore Math)由我在2020年创办。TMAS代表The Math and Science(数学与科学)。您可在下方链接的我的网站上了解更多关于该项目的信息。
网站:https://www.tmasacademy.com/
§1.2 为TMAS学院贡献的机会
为TMAS学院做贡献很简单。
您可访问我们的网站加入团队:https://www.tmasacademy.com/opportunitieswithtmas
捐赠:如果您愿意协助我支付每月运营该项目的费用(包括网站费用、Overleaf费用(用于撰写此类长篇手册的平台)以及拍摄/剪辑费用)，请考虑捐赠！对于愿意贡献的朋友，我在下方列出了几种方式。别忘了留言，让我知道您是谁，这样我就能向您发送感谢信。
- 您可通过PayPal向邮箱ritvikrustagi7@gmail.com捐赠
- 您可在https://www.buymeacoffee.com/tmasacademy捐赠
- 如果您想捐赠但上述两种方式均不适用，请发送邮件至weexploremath@gmail.com
- 美国数学协会(The Mathematical Association of America，MAA)
- 斯坦福数学锦标赛(Stanford Math Tournament，SMT)
- 哈佛-麻省理工数学锦标赛(Harvard MIT Mathematics Tournament，HMMT)
- 普林斯顿大学数学竞赛(Princeton University Mathematics Competition，PUMaC)
- 加州理工-哈维穆德数学竞赛(Caltech Harvey Mudd Math Competition，CHMMC)
- 卡内基梅隆信息与数学竞赛(Carnegie Mellon Informatics and Mathematics Competition，CMIMC)
- 75分钟内完成25道题
- 平均每题3分钟
- 答对得6分，未答得1.5分，答错得0分
- 幸运的是，只要年级在十年级/十二年级或以下，任何人都可以参加AMC 10/12
- 设有AMC \( {10}/{12}\mathrm{\;A} \) 和 \( \mathrm{B} \) ，上述信息同时适用于 \( \mathrm{A} \) 和B
- AMC 10/12是选拔美国IMO代表队的第一轮考试
- 比赛当天不要带坐标纸！这是不允许的。
- 在AMC 10/12(美国数学竞赛10/12)中取得高分的人将参加AIME(美国数学邀请赛)
- 在这两项考试中均表现优异并达到特定分数者，可晋级USA(J)MO(美国(初级)数学奥林匹克)，并继续迈向MOP(数学奥林匹克夏令营，Math Olympiad Summer Program)乃至IMO(国际数学奥林匹克，International Mathematical Olympiad)
- 绝对不要惊慌
- 如果完全看不懂题目，就留空
- 若能排除部分选项，务必排除
- 避免盲目猜答案，因为每道未作答的题目可得1.5分！
- 通过估算答案范围来剔除选项，从而筛掉过高或过低的答案
- 几何题
- 每道题都要画图
- 时间不足时可估算尺寸
- 若看起来相同(如两条边长相等)，那多半就是相等(注意:仅在时间不够时使用此技巧)
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§1.3 关于作者:Ritvik Rustagi
我叫Ritvik Rustagi(里特维克·鲁斯塔吉)，是Prospect High School(展望高中)的学生。我喜欢数学、物理和编程。虽然从六年级起我就参加过一些数学奥林匹克竞赛，但真正踏上竞赛数学的征程是在八年级。那时，我充分利用线上学校，系统吸收各类数学竞赛中出现的概念。
我的一些资历包括两次入围USAJMO(美国青少年数学奥林匹克竞赛)、入围USAPHO(美国物理奥林匹克竞赛)、在芝加哥MathCon总决赛中获得金牌，以及两次在AMC 10中取得DHR(杰出荣誉榜)成绩。
疫情期间，我通过YouTube频道发现了自己对教授数学竞赛主题的热情。教学也使我更高效地掌握这些复杂内容，因为教别人往往能提升自己的水平。
本书旨在帮助所有志在晋级AIME(美国数学邀请赛)的学生。鉴于该考试难度逐年攀升，一本配备丰富习题的优质指南必不可少，而这正是本书的使命。书中收录数百道题目，并配有详尽解答，即使经验最浅的学生也能在高效解题的同时深入理解问题。
§1.4 备战AMC 10与AMC 12的益处
备战数学竞赛是拓展校内数学知识的绝佳途径。这些竞赛更进一步，深化你对校内所学主题的理解。此外，你还会学到许多学校未涵盖的概念。这是一次宝贵的学习体验，能够丰富你的数学之旅。同时，它还能提升你的问题解决能力，这项技能在许多生活场景中都大有裨益。
\( §{1.5} \) 如果书中出现错误怎么办？
部分习题的解答可能存在诸如拼写错误或LaTeX语法等小错误。若发现此类问题，请点击此链接(https://forms.gle/3mxZb4izUuBZLkmz5)进行反馈。
§1.6 还有其他问题或疑虑吗？
如果您还有其他问题或疑虑，欢迎随时联系 weexploremath@gmail.com
§1.7 致谢
我要感谢《解题的艺术》(The Art of Problem Solving) 提供的部分图表与题目，它们被用在了本书中。
我还要感谢麻省理工学院(Massachusetts Institute of Technology)的博士生Evan Chen，他提供的LaTeX模板让本书排版变得轻松；也感谢他耐心解答我在格式方面的所有疑问。
我还要感谢以下机构，它们丰富的题库为本书提供了大量可供探索的问题。
我还要感谢我的父母，他们鼓励我参加数学竞赛，并为我所做的一切。
§1.8 你必须知道的AMC 10/12信息
§1.9 提高得分的策略
§1.10 AIME与USA(J)MO的预期路径
不了解的同学请注意，AIME(American Invitational Mathematical Examination，美国数学邀请赛)包含15道高难度题目，需在3小时内完成。要获得参赛资格，必须在AMC 10或AMC 12考试中达到晋级分数线。
USAJMO(United States of America Junior Mathematical Olympiad，美国初级数学奥林匹克)与USAMO(United States of America Mathematical Olympiad，美国数学奥林匹克)分别对应不同晋级路径:晋级USAJMO需在AMC 10和AIME中均表现优异；晋级USAMO则需在AMC 12和AIME中取得佳绩。
若想通过AMC 10确保晋级AIME(美国数学邀请赛)，需取得150分中110分以上的成绩。然而，近年来试题难度急剧上升，分数线持续走低，最近几次的分数线仅略高于100分，有时甚至低于100分。
对于AMC 12，晋级AIME的分数线低于AMC 10。取得100分以上几乎必进；90多分也可能足够。不过，为防分数线抬高，仍建议把目标设得更高。
在讨论 \( \mathrm{{USA}}\left( \mathrm{J}\right) \mathrm{{MO}} \) 之前，需先了解该考试的“分数指数”概念。你的指数=AMC分数 \( + {10} \times \) AIME分数。
例如，若你的AMC得分为120，AIME得分为10，则你的指数为 \( {120} + {10} \cdot {10} \) ，即220。
USAMO(美国数学奥林匹克)的分数线远高于USAJMO(美国青少年数学奥林匹克)。若想最大化晋级USAMO的机会，应将指数目标定在240。
对于USAJMO，建议将指数目标设为215。215的指数应远高于近年实际分数线。由于AMC 10和AIME难度持续增加，USAJMO的分数线已降至略高于200甚至低于200。