1.1 Index Laws - 教材全解

指数法则 - 掌握同底数幂的运算法则，包括乘法、除法、幂运算等基本规则

指数法则基础

指数（也称为幂）表示重复乘法的简便写法。例如，aⁿ 表示 n 个 a 相乘。指数法则帮助我们简化同底数幂的运算。

基本指数法则：

$$ a^m \times a^n = a^{m+n} $$

$$ a^m \div a^n = a^{m-n} $$

$$ (a^m)^n = a^{mn} $$

$$ (ab)^n = a^n b^n $$

指数记法

$$ x^5 $$

这是指数、幂或指数

这是底数

详细法则讲解

1. 同底数幂相乘：a^m × aⁿ = a^m+n

当两个同底数的幂相乘时，指数相加。这是指数法则的基础。

Example 1

Simplify these expressions:

a) $$ x^2 \times x^5 $$

b) $$ 2p^2 \times 3p^3 $$

c) $$ \frac{b^7}{b^4} $$

d) $$ 6x^5 \div 3x^3 $$

e) $$ (a^3)^2 \times 2a^2 $$

f) $$ \frac{(3x^2)^3}{x^4} $$

注意事项

注意

括号外的减号会改变括号内每一项的符号。

Example 2

Expand these expressions and simplify if possible:

a) -3x(7x - 4)

b) y²(3 - 2y³)

c) 4x(3x - 2x² + 5x³)

d) 2x(5x + 3) - 5(2x + 3)

分数形式指数

Example 3

Simplify these expressions:

a) ^{x⁷ + x⁴}⁄_x³

b) ^{3x² - 6x⁵}⁄_2x

c) ^{20x⁷ + 15x³}⁄_5x²

练习题

以下练习题帮助巩固指数法则的理解和应用：

基础练习

Simplify: a) $$ 2^3 \times 2^4 $$ b) $$ x^2 \times x^3 $$ c) $$ 3a^2 \times 2a^4 $$
Simplify: a) $$ 5^6 \div 5^2 $$ b) $$ y^8 \div y^3 $$ c) $$ 4b^5 \div 2b^2 $$
Simplify: a) $$ (2^3)^2 $$ b) $$ (x^2)^3 $$ c) $$ (3y^2)^2 $$

进阶练习

Expand and simplify: a) $$ 2(x + 3) $$ b) $$ -3(2x - 1) $$ c) $$ 4x(2x + 1) $$
Simplify fractions: a) $$ \frac{6x^4 + 10x^6}{2x} $$ b) $$ \frac{8x^3 + 5x}{2x} $$