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1.4 Negative and Fractional Indices - 章节总结

负指数与分数指数总结：掌握负指数和分数指数的运算法则及相互转化

核心法则汇总

指数类型 法则表达式 示例
分数指数（1/m次） $$ a^{\frac{1}{m}} = \sqrt[m]{a} $$ $$ 16^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{16} = 2 $$
分数指数（n/m次） $$ a^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{a^n} = \left( \sqrt[m]{a} \right)^n $$ $$ 8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = 4 $$
负指数 $$ a^{-m} = \frac{1}{a^m} $$（$$ a \neq 0 $$） $$ 2^{-3} = \frac{1}{8} $$
零指数 $$ a^0 = 1 $$（$$ a \neq 0 $$） $$ 5^0 = 1 $$
同底乘法 $$ a^p \times a^q = a^{p+q} $$ $$ x^{\frac{1}{2}} \times x^{\frac{3}{2}} = x^2 $$
同底除法 $$ \frac{a^p}{a^q} = a^{p-q} $$ $$ \frac{x^3}{x^{-3}} = x^6 $$
幂的乘方 $$ (a^p)^q = a^{pq} $$ $$ (x^3)^{\frac{2}{3}} = x^2 $$

解题技巧

必须掌握的要点
  • 分数指数转根式：遇$$ a^{\frac{n}{m}} $$时，先开$$ m $$次根号再取$$ n $$次幂（或反之），简化计算；
  • 负指数转倒数：看到$$ a^{-m} $$，直接转化为$$ \frac{1}{a^m} $$后按正指数运算；
  • 混合运算顺序：先处理乘方、开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内。

常见错误警示

容易犯错的地方
  • 错误：分数指数的分子/分母混淆：误将$$ a^{\frac{n}{m}} $$算成$$ \sqrt[n]{a^m} $$（正确为$$ \sqrt[m]{a^n} $$）；
  • 错误：负指数与减法混淆：误将$$ a^{-m} $$当成$$ a - m $$（实际是$$ \frac{1}{a^m} $$）；
  • 错误：零指数的特殊情况：忽略$$ a \neq 0 $$，错误认为$$ 0^0 = 1 $$（$$ 0^0 $$无意义）；
  • 错误：系数与指数的运算混淆：化简$$ 2x^{\frac{1}{2}} \times 3x^{\frac{1}{2}} $$时，误将系数和指数都相乘（正确：系数乘$$ 2 \times 3 = 6 $$，指数加$$ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 $$，结果为$$ 6x $$）。