负指数与分数指数 - 掌握负指数和分数指数的运算法则，包括分数指数的根式表示和负指数的倒数表示
指数（Indices）可表示为负数或分数，所有有理数指数（整数、分数、负数）均遵循指数运算法则：
由$$ x^{\frac{1}{2}} \times x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}} = x^1 = x $$，可知$$ x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x} $$（平方根）。
同理，$$ n $$个$$ x^{\frac{1}{n}} $$相乘得$$ x $$，故$$ x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x} $$（$$n$$次根）。
进一步，$$ a^{\frac{n}{m}} = \left(a^{\frac{1}{m}}\right)^n = \sqrt[m]{a^n} $$。
由$$ a^m \times a^{-m} = a^{m+(-m)} = a^0 = 1 $$（$$a \neq 0$$），得$$ a^{-m} = \frac{1}{a^m} $$。
a. $$ \frac{x^3}{x^{-3}} $$：由$$ \frac{a^p}{a^q} = a^{p-q} $$，得$$ x^{3 - (-3)} = x^6 $$；
b. $$ x^{\frac{1}{2}} \times x^{\frac{3}{2}} $$：由$$ a^p \times a^q = a^{p+q} $$，得$$ x^{\frac{1}{2}+\frac{3}{2}} = x^2 $$；
c. $$ (x^3)^{\frac{2}{3}} $$：由$$ (a^p)^q = a^{pq} $$，得$$ x^{3 \times \frac{2}{3}} = x^2 $$；
d. $$ 2x^{1.5} \div 4x^{-0.25} $$：系数相除（$$ 2 \div 4 = \frac{1}{2} $$），指数相减（$$ 1.5 - (-0.25) = \frac{7}{4} $$），结果为$$ \frac{1}{2}x^{\frac{7}{4}} $$；
e. $$ \sqrt[3]{125x^6} $$：转分数指数为$$ (125x^6)^{\frac{1}{3}} = 125^{\frac{1}{3}} \times x^{6 \times \frac{1}{3}} = 5x^2 $$；
f. $$ \frac{2x^2 - x}{x^5} $$：分子提公因式$$ x $$得$$ x(2x - 1) $$，再除以$$ x^5 $$，结果为$$ 2x^{-3} - x^{-4} $$。
a. $$ 9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3 $$；
b. $$ 64^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{64} = 4 $$；
c. $$ 49^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{49})^3 = 7^3 = 343 $$；
d. $$ 25^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{25^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{(\sqrt{25})^3} = \frac{1}{125} $$。
已知$$ y = \frac{1}{16}x^2 $$，化为$$ kx^n $$形式：
a. $$ y^{\frac{1}{2}} = \left( \frac{1}{16}x^2 \right)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{4}x $$；
b. $$ 4y^{-1} = 4 \times \left( \frac{1}{16}x^2 \right)^{-1} = 64x^{-2} $$。