核心定义与性质
无理数（Surd）的定义：若\( n \)是非完全平方数的整数，则\( \sqrt{n} \)的任意倍数都称为无理数（如\( \sqrt{2} \)、\( \sqrt{19} \)、\( 5\sqrt{2} \)都是无理数）。
无理数的本质：无理数属于无理数（Irrational numbers），其十进制展开无限且不循环（例如\( \sqrt{2} = 1.414213562\ldots \)）。无理数不能表示为\( \frac{a}{b} \)（\( a, b \)为整数）的形式。
作用：无理数可用于表示计算的精确结果（避免小数近似带来的误差）。
运算规则
对无理数进行运算时，遵循以下规则：
乘积法则：\( \sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \)（\( a, b \geq 0 \)）；
商法则：\( \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \)（\( a \geq 0, b > 0 \)）；
同类无理数：同类无理数（被开方数相同）可像"同类项"一一样合并（加减运算时，系数相加减，被开方数不变）。
典型示例解析
化简无理数表达式
a. \( \sqrt{12} \)：
将\( 12 \)分解为"完全平方数×非完全平方数"（\( 12 = 4 \times 3 \)），由乘积法则得：
\( \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \)
b. \( \frac{\sqrt{20}}{2} \)：
先化简\( \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5} \)，再除以\( 2 \)，得：
\( \frac{\sqrt{20}}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5} \)
c. \( 5\sqrt{6} - 2\sqrt{24} + \sqrt{294} \)：
先将所有项化为"同类无理数（被开方数为6）"：
\( \sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2\sqrt{6} \)，故\( 2\sqrt{24} = 4\sqrt{6} \)
\( \sqrt{294} = \sqrt{49 \times 6} = 7\sqrt{6} \)
代入后合并：
\( 5\sqrt{6} - 4\sqrt{6} + 7\sqrt{6} = (5 - 4 + 7)\sqrt{6} = 8\sqrt{6} \)
展开并化简含无理数的表达式
a. \( \sqrt{2}(5 - \sqrt{3}) \)：
用分配律展开，得：
\( \sqrt{2} \times 5 - \sqrt{2} \times \sqrt{3} = 5\sqrt{2} - \sqrt{6} \)（无法进一步化简）
b. \( (2 - \sqrt{3})(5 + \sqrt{3}) \)：
用多项式乘法展开（分配律）：
\( 2 \times 5 + 2 \times \sqrt{3} - \sqrt{3} \times 5 - \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 10 + 2\sqrt{3} - 5\sqrt{3} - 3 \)
合并同类项（有理项与无理项分别合并）：
\( (10 - 3) + (2\sqrt{3} - 5\sqrt{3}) = 7 - 3\sqrt{3} \)
总结
无理数（Surds）是代数学的重要概念，掌握其定义、性质和运算规则对于理解数学的精确性和处理几何、物理等问题中的精确计算至关重要。通过大量练习，可以熟练掌握各种化简和运算技巧。
记住要点：
- 无理数的定义和本质特征
- 乘积法则和商法则的应用
- 同类无理数的合并方法
- 化简技巧：分解为完全平方数乘以非完全平方数