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1.6 Rationalising Denominators - 章节总结

分母有理化总结：掌握分母含无理数的分数的化简技巧和方法

核心方法汇总

分母形式 有理化策略 示例
$$\frac{1}{\sqrt{a}}$$ 分子、分母同乘$$\sqrt{a}$$ $$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$\frac{1}{a + \sqrt{b}}$$ 分子、分母同乘$$a - \sqrt{b}$$ $$\frac{1}{3 + \sqrt{2}} = \frac{3 - \sqrt{2}}{7}$$
$$\frac{1}{a - \sqrt{b}}$$ 分子、分母同乘$$a + \sqrt{b}$$ $$\frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{3}$$
分母为"无理式平方" 先展开分母，再按"和/差型"有理化 $$\frac{1}{(1 - \sqrt{3})^2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2}$$

解题技巧

必须掌握的要点
  • 识别分母类型：先判断分母是"单一根号""和型无理式"还是"差型无理式"，再选择对应共轭根式；
  • 共轭根式的作用：利用平方差公式消去根号，核心是$$(m + n)(m - n) = m^2 - n^2$$（其中$$n$$含根号）；
  • 分步处理复杂分母：若分母是"根号的平方"或"多项式"，先展开/整理，再分步有理化。

常见错误警示

容易犯错的地方
  • 错误：共轭根式选择错误：如分母为$$a + \sqrt{b}$$时，误乘$$a + \sqrt{b}$$（应乘$$a - \sqrt{b}$$）；
  • 错误：分子漏乘共轭根式：有理化时只给分母乘，忘记分子也要同乘，导致结果错误；
  • 错误：化简不彻底：有理化后分子或分母仍有公因式，未约分到最简形式（如$$\frac{4 + 2\sqrt{3}}{4}$$应约分为$$\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$$）；
  • 错误：符号运算错误：展开$$(a - \sqrt{b})^2$$或乘共轭根式时，符号处理失误（如$$-\sqrt{b} \times \sqrt{b} = -b$$，而非$$+b$$）。