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2.1 Quadratic Equations - 教材全解

二次方程求解 - 掌握二次方程的三种核心解法：因式分解法、直接开平方法、求根公式法

一、二次方程的基本形式

二次方程的标准形式为 $$ ax^2 + bx + c = 0 $$，其中 $$ a, b, c $$ 是实数且 $$ a \neq 0 $$。二次方程的解（roots）（即未知数 $$ x $$ 的值）可能有 0个、1个或2个实数解。

二、三类解法与示例

1. 因式分解法（Factorising）

适用情况：二次三项式容易因式分解时。

步骤：

  1. 将方程整理为 $$ ax^2 + bx + c = 0 $$ 的标准形式；
  2. 对左边的二次三项式因式分解（化为两个一次式的乘积）；
  3. 根据"若 $$ A \times B = 0 $$，则 $$ A = 0 $$ 或 $$ B = 0 $$"，分别令每个因式为0，求解 $$ x $$。
示例（Example 1）

a) $$ x^2 - 2x - 15 = 0 $$：
因式分解为 $$ (x - 5)(x + 3) = 0 $$，则 $$ x - 5 = 0 $$ 或 $$ x + 3 = 0 $$，解得 $$ x = 5 $$ 或 $$ x = -3 $$。

b) $$ x^2 = 9x $$：
移项为 $$ x^2 - 9x = 0 $$，因式分解为 $$ x(x - 9) = 0 $$，解得 $$ x = 0 $$ 或 $$ x = 9 $$。

c) $$ 6x^2 + 13x - 5 = 0 $$：
因式分解为 $$ (2x + 5)(3x - 1) = 0 $$，则 $$ 2x + 5 = 0 $$ 或 $$ 3x - 1 = 0 $$，解得 $$ x = -\frac{5}{2} $$ 或 $$ x = \frac{1}{3} $$。

d) $$ x^2 - 5x + 18 = 2 + 3x $$：
整理为 $$ x^2 - 8x + 16 = 0 $$，因式分解为 $$ (x - 4)^2 = 0 $$，解得 $$ x = 4 $$（重根，即两个相同的解）。

2. 直接开平方法（Taking square roots）

适用情况：方程能整理为"完全平方等于常数"的形式 $$ (mx + n)^2 = k $$（$$ k \geq 0 $$）。

步骤：对等式两边直接开平方，得到 $$ mx + n = \pm \sqrt{k} $$，再解两个一次方程。

示例（Example 2）

a) $$ (2x - 3)^2 = 25 $$：
开平方得 $$ 2x - 3 = \pm 5 $$，即 $$ 2x - 3 = 5 $$ 或 $$ 2x - 3 = -5 $$，解得 $$ x = 4 $$ 或 $$ x = -1 $$。

b) $$ (x - 3)^2 = 7 $$：
开平方得 $$ x - 3 = \pm \sqrt{7} $$，解得 $$ x = 3 + \sqrt{7} $$ 或 $$ x = 3 - \sqrt{7} $$。

3. 求根公式法（Quadratic formula）

适用情况：所有二次方程（尤其不易因式分解时，是"通用解法"）。

公式：对于 $$ ax^2 + bx + c = 0 $$（$$ a \neq 0 $$），解为： $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$

注意：使用前需将方程整理为标准形式，明确 $$ a, b, c $$ 的系数（注意符号）。

示例（Example 3）

解方程 $$ 3x^2 - 7x - 1 = 0 $$：
这里 $$ a = 3 $$，$$ b = -7 $$，$$ c = -1 $$，代入公式得： $$ x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \times 3 \times (-1)}}{2 \times 3} = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 12}}{6} = \frac{7 \pm \sqrt{61}}{6} $$