2.2 Completing the Square

练习题说明

本练习题分为四个难度等级，从基础概念巩固到思维拓展，帮助学生循序渐进地掌握配方法。每题均配备详细答案解析。

一、基础练习（配方表达式）

基础配方表达式练习

1.

对下列表达式配方：

a) \( x^2 + 6x \)

b) \( x^2 - 4x \)

c) \( x^2 + 5x \)

d) \( x^2 - 7x \)

答案：
a) \( x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9 \)
b) \( x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4 \)
c) \( x^2 + 5x = (x + \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} \)
d) \( x^2 - 7x = (x - \frac{7}{2})^2 - \frac{49}{4} \)

基础二次项系数不为1的表达式配方

2.

对二次项系数不为1的表达式配方：

a) \( 2x^2 + 8x \)

b) \( 4x^2 - 12x \)

c) \( 3x^2 + 9x + 2 \)

d) \( 5x^2 - 10x - 3 \)

答案：
a) \( 2(x^2 + 4x) = 2[(x + 2)^2 - 4] = 2(x + 2)^2 - 8 \)
b) \( 4(x^2 - 3x) = 4[(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}] = 4(x - \frac{3}{2})^2 - 9 \)
c) \( 3(x^2 + 3x) + 2 = 3[(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}] + 2 = 3(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{27}{4} + 2 = 3(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{19}{4} \)
d) \( 5(x^2 - 2x) - 3 = 5[(x - 1)^2 - 1] - 3 = 5(x - 1)^2 - 5 - 3 = 5(x - 1)^2 - 8 \)

二、提高练习（配方法解方程）

中档配方法解方程练习

3.

用配方法解方程（结果保留根号）：

a) \( x^2 + 2x - 3 = 0 \)

b) \( x^2 - 10x + 1 = 0 \)

c) \( 2x^2 + 4x - 5 = 0 \)

d) \( 3x^2 - 6x - 2 = 0 \)

答案：
a) \( x^2 + 2x = 3 \)，\( (x + 1)^2 - 1 = 3 \)，\( (x + 1)^2 = 4 \)，\( x + 1 = \pm 2 \)，\( x = -1 \pm 2 \)，即\( x = 1 \)或\( x = -3 \)
b) \( x^2 - 10x = -1 \)，\( (x - 5)^2 - 25 = -1 \)，\( (x - 5)^2 = 24 \)，\( x = 5 \pm \sqrt{24} = 5 \pm 2\sqrt{6} \)
c) \( 2(x^2 + 2x) = 5 \)，\( 2[(x + 1)^2 - 1] = 5 \)，\( 2(x + 1)^2 - 2 = 5 \)，\( 2(x + 1)^2 = 7 \)，\( (x + 1)^2 = \frac{7}{2} \)，\( x + 1 = \pm \sqrt{\frac{7}{2}} \)，\( x = -1 \pm \frac{\sqrt{14}}{2} \)
d) \( 3(x^2 - 2x) = 2 \)，\( 3[(x - 1)^2 - 1] = 2 \)，\( 3(x - 1)^2 - 3 = 2 \)，\( 3(x - 1)^2 = 5 \)，\( (x - 1)^2 = \frac{5}{3} \)，\( x = 1 \pm \sqrt{\frac{5}{3}} = 1 \pm \frac{\sqrt{15}}{3} \)

中档配方表示练习

4.

已知\( x^2 - 14x + 1 = (x + p)^2 + q \)：

a) 求\( p \)、\( q \)的值；

b) 解方程\( x^2 - 14x + 1 = 0 \)，表示为\( r \pm s\sqrt{3} \)（\( r,s \)为常数）。

答案：
a) \( x^2 - 14x + 1 = (x - 7)^2 - 49 + 1 = (x - 7)^2 - 48 \)，故\( p = -7 \)，\( q = -48 \)
b) \( (x - 7)^2 = 48 \)，\( x - 7 = \pm \sqrt{48} = \pm 4\sqrt{3} \)，\( x = 7 \pm 4\sqrt{3} \)，故\( r = 7 \)，\( s = 4 \)

三、挑战练习（推导与证明）

提高推导与证明练习

5.

证明方程\( x^2 + 2bx + c = 0 \)的解为\( x = -b \pm \sqrt{b^2 - c} \)。

证明：
用配方法：\( x^2 + 2bx = -c \)，\( (x + b)^2 - b^2 = -c \)，\( (x + b)^2 = b^2 - c \)，\( x + b = \pm \sqrt{b^2 - c} \)，\( x = -b \pm \sqrt{b^2 - c} \)。

6.

推导一般二次方程\( ax^2 + bx + c = 0 \)（\( a \neq 0 \)）的求根公式\( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)。

推导：
\( ax^2 + bx + c = 0 \)，\( ax^2 + bx = -c \)，提取\( a \)：\( a\left( x^2 + \frac{b}{a}x \right) = -c \)，
\( x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a} \)，配方：\( \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \left( \frac{b}{2a} \right)^2 = -\frac{c}{a} \)，
\( \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a} = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \)，
\( x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)，\( x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)。

练习技巧与建议

💡 练习策略

循序渐进：按照基础→中档→提高的顺序练习，确保每个难度都掌握牢固
独立思考：先尝试独立解答，再查看答案核对，避免养成依赖答案的习惯
举一反三：完成一道题后，思考是否可以改变条件或推广到一般情况
时间管理：合理分配答题时间，基础题快速完成，提高题适当多花时间
错误分析：错题要仔细分析原因，建立错题集，避免重复犯错

通过系统练习，你将熟练掌握配方法，为学习二次方程求根公式和二次函数性质奠定坚实的基础。

✏️ 章节练习