2.2 Completing the Square

一、核心步骤归纳

表达式类型	配方步骤核心
二次项系数为1	① 提取\( x^2 + bx \)； ② 补全：\( \left( x + \frac{b}{2} \right)^2 - \left( \frac{b}{2} \right)^2 \)； ③ 结合常数项整理。
二次项系数不为1	① 提取\( a \)得\( a\left( x^2 + \frac{b}{a}x \right) + c \)； ② 对括号内配方； ③ 整理为\( a\left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 + \left( c - \frac{b^2}{4a} \right) \)。
配方法解方程	① 整理为\( x^2 + bx = -c \)； ② 左边配方； ③ 开平方求解。

配方时准确计算\( \left( \frac{b}{2} \right)^2 \)（注意一次项系数的符号）。
避免：仔细检查一次项系数的正负号，正确计算平方项
二次项系数不为1时，提取\( a \)后需对括号内的一次项系数\( \frac{b}{a} \)配方。
避免：不要忘记提取系数后的配方步骤
解方程开平方时要考虑"\( \pm \)"，无理数结果保留根号。
避免：遗漏负根或将无理数化简过度
推导公式时注意代数运算的符号和系数，避免粗心错误。
避免：在复杂的代数运算中出现符号或系数错误

记住"提取-配方-整理"三步法：先提取系数，再配方，最后整理结果。

核心配方公式：

\( x^2 + bx = \left( x + \frac{b}{2} \right)^2 - \left( \frac{b}{2} \right)^2 \)

一般二次表达式配方：

\( ax^2 + bx + c = a\left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 + \left( c - \frac{b^2}{4a} \right) \)

二次方程解法：

\( x^2 + bx + c = 0 \) 的解为 \( x = -\frac{b}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{b}{2} \right)^2 - c} \)

求根公式：

\( ax^2 + bx + c = 0 \) 的解为 \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)

熟练掌握配方法，将为学习二次函数、求根公式和高等数学概念奠定坚实的基础。