一、配方法的核心原理
配方法是将二次表达式（或方程）转化为完全平方形式的方法，核心公式为：
对于二次项系数为1的表达式 \( x^2 + bx \)，可配方为：
\[ x^2 + bx = \left( x + \frac{b}{2} \right)^2 - \left( \frac{b}{2} \right)^2 \]
几何上可通过"矩形拼补成缺角正方形"理解（将\( x^2 + bx \)的矩形重新排列为\( \left( x + \frac{b}{2} \right)^2 \)减去小正方形\( \left( \frac{b}{2} \right)^2 \)，蓝色区域面积相等）。
二、不同形式二次式的配方步骤
1. 二次项系数为1的表达式（如\( x^2 + bx + c \)）
步骤：
① 提取二次项和一次项：\( x^2 + bx \)；
② 配方：利用核心公式补全完全平方，即\( x^2 + bx = \left( x + \frac{b}{2} \right)^2 - \left( \frac{b}{2} \right)^2 \)；
③ 结合常数项\( c \)，整理为最终形式。
示例（Example 4a）：配方\( x^2 + 8x \)
\( b = 8 \)，代入公式得：
\( x^2 + 8x = \left( x + \frac{8}{2} \right)^2 - \left( \frac{8}{2} \right)^2 = (x + 4)^2 - 16 \)
示例（Example 4b）：配方\( x^2 - 3x \)
\( b = -3 \)，则\( \frac{b}{2} = -\frac{3}{2} \)，配方得：
\( x^2 - 3x = \left( x - \frac{3}{2} \right)^2 - \frac{9}{4} \)
2. 二次项系数不为1的表达式（如\( ax^2 + bx + c \)，\( a \neq 1 \)）
步骤：
① 提取二次项系数\( a \)，化为\( a\left( x^2 + \frac{b}{a}x \right) + c \)；
② 对括号内的\( x^2 + \frac{b}{a}x \)按"二次项系数为1"的方法配方；
③ 整理后形式为：\( a\left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 + \left( c - \frac{b^2}{4a} \right) \)。
示例（Example 5）：将\( 3x^2 + 6x + 1 \)化为\( p(x + q)^2 + r \)
提取3：\( 3\left( x^2 + 2x \right) + 1 \)；
对\( x^2 + 2x \)配方：\( x^2 + 2x = (x + 1)^2 - 1 \)；
整理：\( 3\left[ (x + 1)^2 - 1 \right] + 1 = 3(x + 1)^2 - 2 \)，故\( p = 3 \)，\( q = 1 \)，\( r = -2 \)。
3. 用配方法解二次方程
步骤：
① 整理为\( x^2 + bx = -c \)（二次项系数为1时）；
② 左边配方：\( \left( x + \frac{b}{2} \right)^2 - \left( \frac{b}{2} \right)^2 = -c \)；
③ 移项得\( \left( x + \frac{b}{2} \right)^2 = \left( \frac{b}{2} \right)^2 - c \)，开平方求解。
示例（Example 6）：解方程\( x^2 + 8x + 10 = 0 \)
移项：\( x^2 + 8x = -10 \)；
配方：\( (x + 4)^2 - 16 = -10 \)，即\( (x + 4)^2 = 6 \)；
开平方：\( x + 4 = \pm \sqrt{6} \)，解得\( x = -4 \pm \sqrt{6} \)。
总结
配方法是二次方程求解的重要方法之一，通过将二次表达式转化为完全平方形式，为求根公式提供了理论基础。熟练掌握配方法不仅有助于解方程，还能帮助理解二次函数的性质和几何意义。
记住要点：
- 核心公式：\( x^2 + bx = \left( x + \frac{b}{2} \right)^2 - \left( \frac{b}{2} \right)^2 \)
- 注意二次项系数的处理，特别是当系数不为1时
- 配方法是求根公式的理论基础
- 几何解释有助于理解配方的本质