2.3 Functions - 章节练习

答案：
a) $$ f(2) = 3 \times 2 + 5 = 11 $$；$$ g(-3) = (-3)^2 + 2 \times (-3) = 9 - 6 = 3 $$
b) $$ 3x + 5 = x^2 + 2x $$，整理为$$ x^2 - x - 5 = 0 $$，解得$$ x = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2} $$

答案：
a) $$ f(x) = (x - 2)^2 - 3 $$
b) $$ (x - 2)^2 - 3 = 0 $$，$$ (x - 2)^2 = 3 $$，$$ x = 2 \pm \sqrt{3} $$
c) 最小值$$ -3 $$，当$$ x = 2 $$时取得

答案：
a) 令$$ u = x^3 $$，得$$ u^2 + 9u + 8 = 0 $$，$$ (u + 1)(u + 8) = 0 $$，$$ u = -1 $$或$$ u = -8 $$。
回代：$$ x^3 = -1 $$或$$ x^3 = -8 $$，无实数根。
b) 令$$ u = x^2 $$，得$$ u^2 - 12u + 32 = 0 $$，$$ (u - 4)(u - 8) = 0 $$，$$ u = 4 $$或$$ u = 8 $$。
回代：$$ x^2 = 4 $$或$$ x^2 = 8 $$，$$ x = \pm 2 $$或$$ x = \pm 2\sqrt{2} $$。
c) 令$$ u = \sqrt{x} $$，得$$ u^2 - 7u + 10 = 0 $$，$$ (u - 2)(u - 5) = 0 $$，$$ u = 2 $$或$$ u = 5 $$。
回代：$$ \sqrt{x} = 2 $$或$$ \sqrt{x} = 5 $$，$$ x = 4 $$或$$ x = 25 $$。

答案：
a) 令$$ u = 3^x $$，得$$ u^2 - 28u + 27 = 0 $$，$$ (u - 1)(u - 27) = 0 $$。
回代：$$ (3^x - 1)(3^x - 27) $$。
b) $$ 3^x = 1 $$或$$ 3^x = 27 $$，$$ x = 0 $$或$$ x = 3 $$。

答案：
$$ x^2 - 3x = 2x - 6 $$，整理为$$ x^2 - 5x + 6 = 0 $$，$$ (x - 2)(x - 3) = 0 $$，$$ x = 2 $$或$$ x = 3 $$。

答案：
$$ 2x^3 + 30x = 17x^2 $$，整理为$$ 2x^3 - 17x^2 + 30x = 0 $$，$$ x(2x^2 - 17x + 30) = 0 $$，$$ x = 0 $$或$$ 2x^2 - 17x + 30 = 0 $$。
$$ 2x^2 - 17x + 30 = 0 $$，$$ (2x - 15)(x - 2) = 0 $$，$$ x = \frac{15}{2} $$或$$ x = 2 $$。

答案：
a) $$ f(x) = (x - 1)^2 + 1 $$
b) 由$$ (x - 1)^2 + 1 \geq 1 > 0 $$，故$$ f(x) > 0 $$对所有$$ x $$成立，最小值$$ 1 $$，当$$ x = 1 $$时取得。