函数 - 掌握函数的核心定义、定义域/值域、函数运算与方程求解，以及配方法、换元法在函数中的应用
函数本质：将每个输入值（来自定义域（Domain））唯一映射到输出值（属于值域（Range））的数学关系，用$$ f(x) $$表示"关于$$ x $$的函数"。
定义域与值域：
函数的根：使$$ f(x) = 0 $$的$$ x $$值（函数图像与$$ x $$-轴交点的横坐标）。
已知$$ f(x) = 2x - 10 $$，$$ g(x) = x^2 - 9 $$（$$ x \in \mathbb{R} $$）。
a) 求值：$$ f(5) = 2 \times 5 - 10 = 0 $$；$$ g(10) = 10^2 - 9 = 91 $$。
b) 解方程$$ f(x) = g(x) $$：
列方程$$ 2x - 10 = x^2 - 9 $$，整理为$$ x^2 - 2x + 1 = 0 $$，因式分解得$$ (x - 1)^2 = 0 $$，解得$$ x = 1 $$。
通过配方法将二次函数化为"顶点式"，可直接分析根、最值等性质。
函数$$ f(x) = x^2 + 6x - 5 $$（$$ x \in \mathbb{R} $$）。
a) 化为顶点式：对$$ x^2 + 6x $$配方，得$$ f(x) = (x + 3)^2 - 14 $$。
b) 求根：令$$ (x + 3)^2 - 14 = 0 $$，开平方得$$ x = -3 \pm \sqrt{14} $$。
c) 求最值：由$$ (x + 3)^2 \geq 0 $$，当$$ x = -3 $$时，$$ f(x) $$取最小值$$ -14 $$。
对次数高于2的函数，通过换元法转化为二次方程求解。
求$$ f(x) = x^6 + 7x^3 - 8 $$的根。
令$$ u = x^3 $$，函数化为$$ u^2 + 7u - 8 $$，因式分解得$$ (u - 1)(u + 8) $$。
回代$$ u = x^3 $$，得$$ x^3 = 1 $$或$$ x^3 = -8 $$，解得$$ x = 1 $$或$$ x = -2 $$。