← 返回导航

✏️ 章节练习

精心设计的练习题，帮助巩固二次函数图像的理解和应用，包括分析和作图练习。

练习题说明

本练习题分为多个层次，从基础特征分析到综合应用，帮助学生系统掌握二次函数图像的核心概念。每题均配备详细答案解析。

基础练习

基础二次函数特征分析

1.

对于二次函数 \( y = x^2 - 4x + 3 \)：

判断抛物线的开口方向；
求它与 \( y \) 轴、\( x \) 轴的交点坐标；
用配方法求顶点坐标和对称轴方程。
答案：
开口方向：\( a = 1 > 0 \)，开口向上。
与 \( y \) 轴交点：\( x = 0 \)，\( y = 3 \)，交点\( (0, 3) \)。
与 \( x \) 轴交点：\( x^2 - 4x + 3 = 0 \)，\( (x - 1)(x - 3) = 0 \)，\( x = 1, 3 \)，交点\( (1, 0) \)、\( (3, 0) \)。
配方法：\( y = (x - 2)^2 - 4 + 3 = (x - 2)^2 - 1 \)，顶点\( (2, -1) \)，对称轴\( x = 2 \)。

基础顶点式推导

2.

已知某二次函数图像开口向下，与 \( y \) 轴交于点 \( (0, 5) \)，且顶点为 \( (2, 9) \)，求该函数的表达式（用顶点式推导）。

答案：
开口向下：\( a < 0 \)。
与 \( y \) 轴交于\( (0, 5) \)：\( c = 5 \)。
顶点\( (2, 9) \)：\( y = a(x - 2)^2 + 9 \)。
当\( x = 0 \)时：\( y = a(0 - 2)^2 + 9 = 4a + 9 = 5 \)，\( 4a = -4 \)，\( a = -1 \)。
所以函数表达式：\( y = -1(x - 2)^2 + 9 = -(x - 2)^2 + 9 = -x^2 + 4x + 5 \)。

中档练习

中档判别式与图像分析

3.

分析函数 \( y = -2x^2 + 8x - 5 \)：

通过判别式 \( \Delta = b^2 - 4ac \)，判断它是否与 \( x \) 轴相交；
求顶点坐标和对称轴；
尝试画出它的大致图像（标注开口方向、与 \( y \) 轴交点、顶点等关键特征）。
答案：
\( a = -2 \)，\( b = 8 \)，\( c = -5 \)。
\( \Delta = b^2 - 4ac = 64 - 4(-2)(-5) = 64 - 40 = 24 > 0 \)，有两个实根，与\( x \)轴相交。
对称轴：\( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2(-2)} = -\frac{8}{-4} = 2 \)。
顶点纵坐标：\( y = -2(2)^2 + 8(2) - 5 = -8 + 16 - 5 = 3 \)，顶点\( (2, 3) \)。
与\( y \)轴交点：\( x = 0 \)，\( y = -5 \)，交点\( (0, -5) \)。
开口向下，顶点\( (2, 3) \)，与\( y \)轴交于\( (0, -5) \)，与\( x \)轴有两个交点。

练习技巧与建议

💡 练习策略

  • 特征识别：先分析开口方向、交点、顶点这三个关键特征
  • 作图技巧：确定开口方向后，标出顶点和交点，连成光滑曲线
  • 判别式应用：用判别式快速判断与\( x \)轴的交点情况
  • 顶点求法：熟练掌握对称轴公式\( x = -\frac{b}{2a} \)，再代入求\( y \)
  • 配方联系：理解配方法与顶点坐标的关系

通过系统练习，你将熟练掌握二次函数图像的分析和绘制技巧，为学习函数性质和几何应用打下坚实基础。