二次函数图像的基本特征
二次函数的一般形式为 \( y = ax^2 + bx + c \)（\( a \neq 0 \)），其图像是抛物线，核心特征由系数 \( a \)、\( b \)、\( c \) 共同决定：
1. 开口方向
开口方向由 \( a \) 的符号决定：
- 当 \( a > 0 \) 时，抛物线开口向上（形如"∪"），图像有最小值点；
- 当 \( a < 0 \) 时，抛物线开口向下（形如"∩"），图像有最大值点。
与坐标轴的交点
与 \( y \) 轴的交点
令 \( x = 0 \)，代入得 \( y = c \)，因此交点为 \( (0, c) \)。
与 \( x \) 轴的交点
令 \( y = 0 \)，解一元二次方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \)。若方程有实数根 \( x_1, x_2 \)，则交点为 \( (x_1, 0) \) 和 \( (x_2, 0) \)；若方程无实数根，则抛物线与 \( x \) 轴无交点。
顶点（转折点）与对称轴
顶点是抛物线的"最高点"（\( a < 0 \) 时）或"最低点"（\( a > 0 \) 时），对称轴是过顶点且垂直于 \( x \) 轴的直线。
配方法求顶点和对称轴
将 \( y = ax^2 + bx + c \) 配成 \( y = a(x + p)^2 + q \) 的形式，顶点坐标为 \( (-p, q) \)，对称轴为直线 \( x = -p \)。
对称轴公式：若已知抛物线与 \( x \) 轴的两个交点 \( (x_1, 0) \)、\( (x_2, 0) \)，则对称轴为 \( x = \frac{x_1 + x_2}{2} \)；也可直接用公式 \( x = -\frac{b}{2a} \) 求顶点的横坐标。
总结
二次函数 \( y = ax^2 + bx + c \)（\( a \neq 0 \)）的图像是抛物线，核心知识可总结为以下几点：
- 开口与最值：\( a \) 的符号决定开口方向，\( a > 0 \) 开口向上（有最小值），\( a < 0 \) 开口向下（有最大值）。
- 坐标轴交点：与 \( y \) 轴交于 \( (0, c) \)；与 \( x \) 轴的交点由方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的实根个数决定（可通过判别式 \( \Delta \) 判断）。
- 顶点与对称轴：顶点是抛物线的转折点，对称轴是过顶点的垂直于 \( x \) 轴的直线。可通过配方法、对称轴公式 \( x = -\frac{b}{2a} \)** 或"两交点中点"求顶点横坐标，再代入函数求纵坐标。
- 图像绘制：结合"开口方向、与坐标轴交点、顶点"这三个关键特征，即可快速画出二次函数的大致图像。