判别式的定义与应用
对于二次函数 $$ f(x) = ax^2 + bx + c $$（$$ a \neq 0 $$），判别式（discriminant） 定义为表达式 $$ \Delta = b^2 - 4ac $$。它的核心作用是判断一元二次方程 $$ ax^2 + bx + c = 0 $$ 实数根的个数，同时反映二次函数图像（抛物线）与 $$ x $$ 轴的交点情况：
- 当 $$ \Delta > 0 $$ 时：方程有两个不同的实数根，对应抛物线与 $$ x $$ 轴有两个不同的交点。
- 当 $$ \Delta = 0 $$ 时：方程有一个重根（两个相等的实数根），对应抛物线与 $$ x $$ 轴相切（只有一个交点）。
- 当 $$ \Delta < 0 $$ 时：方程没有实数根，对应抛物线与 $$ x $$ 轴没有交点。
判别式与抛物线开口方向的关系
结合抛物线开口方向（由 $$ a $$ 的符号决定），判别式能进一步明确图像形状：
- 若 $$ a > 0 $$（开口向上）：$$ \Delta > 0 $$ 时抛物线与 $$ x $$ 轴有两个交点；$$ \Delta = 0 $$ 时抛物线顶点在 $$ x $$ 轴上；$$ \Delta < 0 $$ 时抛物线全在 $$ x $$ 轴上方。
- 若 $$ a < 0 $$（开口向下）：$$ \Delta > 0 $$ 时抛物线与 $$ x $$ 轴有两个交点；$$ \Delta = 0 $$ 时抛物线顶点在 $$ x $$ 轴上；$$ \Delta < 0 $$ 时抛物线全在 $$ x $$ 轴下方。