Chapter 2 Exercises - 本章练习题

练习题说明

本练习题分为三个难度等级，从基础概念巩固到思维拓展，帮助学生循序渐进地掌握二次方程与二次函数的核心概念。每题均配备详细答案解析。

基础层级练习题

基础核心概念练习

1.

当方程 \( x^2 - 6x + k = 0 \) 有两个相等实数根时，求 \( k \) 的值。

答案：两个相等实数根意味着判别式 \( \Delta = 0 \)。
\( \Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot k = 36 - 4k = 0 \)，
\( 36 = 4k \)，\( k = 9 \)。

2.

将二次函数 \( y = 2x^2 + 8x + 3 \) 配成 \( y = a(x + h)^2 + k \) 的形式，并写出顶点坐标。

答案：
\( y = 2(x^2 + 4x) + 3 = 2[(x + 2)^2 - 4] + 3 = 2(x + 2)^2 - 8 + 3 = 2(x + 2)^2 - 5 \)。
所以 \( a = 2 \)，\( h = -2 \)，\( k = -5 \)，顶点坐标 \( (-2, -5) \)。

3.

利用判别式判断方程 \( 3x^2 - 5x + 2 = 0 \) 实数根的个数，说明理由。

答案：
\( \Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1 > 0 \)，有两个不同的实数根。
理由：判别式大于0，方程有两个不同的实数根。

提升层级练习题

提升综合应用练习

4.

解方程 \( (x - 3)(x + 5) = 12 \)（先整理为标准二次方程再求解）。

答案：
\( (x - 3)(x + 5) = 12 \)，
\( x^2 + 5x - 3x - 15 = 12 \)，
\( x^2 + 2x - 15 = 12 \)，
\( x^2 + 2x - 27 = 0 \)。
用求根公式：\( x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 108}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{112}}{2} = \frac{-2 \pm 4\sqrt{7}}{2} = -1 \pm 2\sqrt{7} \)。

5.

已知函数 \( f(x) = x^4 - 10x^2 + 9 \)，将其因式分解为 \( (x^2 - a)(x^2 - b) \) 的形式，再求 \( f(x) = 0 \) 的所有实根。

答案：
令 \( y = x^2 \)，则 \( y^2 - 10y + 9 = 0 \)，
\( (y - 1)(y - 9) = 0 \)，\( y = 1 \) 或 \( y = 9 \)。
所以 \( f(x) = (x^2 - 1)(x^2 - 9) = (x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 3) \)。
实根：\( x = \pm 1, \pm 3 \)。

6.

小球竖直上抛的高度 \( h \)（米）与时间 \( t \)（秒）满足 \( h = -5t^2 + 20t + 15 \)：

a. 求小球抛出时的初始高度；

b. 求小球落地的时间（即 \( h = 0 \) 时的正根）；

c. 求小球到达的最大高度及对应时间（用配方法或顶点公式）。

答案：
a. 当 \( t = 0 \) 时，\( h = 15 \) 米。
b. 解 \( -5t^2 + 20t + 15 = 0 \)，\( 5t^2 - 20t - 15 = 0 \)（乘以-1），
\( \Delta = 400 + 300 = 700 \)，\( t = \frac{20 \pm \sqrt{700}}{10} = \frac{20 \pm 10\sqrt{7}}{10} = 2 \pm \sqrt{7} \)。
正根 \( t = 2 + \sqrt{7} \) 秒。
c. 对称轴 \( t = -\frac{20}{2(-5)} = \frac{20}{10} = 2 \) 秒，
\( h = -5(2)^2 + 20(2) + 15 = -20 + 40 + 15 = 35 \) 米。

挑战层级练习题

挑战思维拓展练习

7.

求函数 \( r(x) = x^8 - 25x^4 + 144 \) 的所有实根（提示：令 \( y = x^4 \)，先解关于 \( y \) 的二次方程）。

答案：
令 \( y = x^4 \)，则 \( y^2 - 25y + 144 = 0 \)，
\( \Delta = 625 - 576 = 49 = 7^2 \)，\( y = \frac{25 \pm 7}{2} = 16 \) 或 \( y = 9 \)。
\( x^4 = 16 \)，\( x = \pm 2 \); \( x^4 = 9 \)，\( x = \pm \sqrt[4]{9} = \pm 3^{\frac{1}{4}} \)（无实数解）。
实根：\( x = \pm 2 \)。

8.

对于函数 \( f(x) = kx^2 + (3k + 1)x + 2k \)（\( k \) 为实数且 \( k \neq 0 \)），证明它总有两个不同的实数根（通过判别式推导）。

证明：
判别式 \( \Delta = (3k + 1)^2 - 4 \cdot k \cdot 2k = 9k^2 + 6k + 1 - 8k^2 = k^2 + 6k + 1 \)。
\( k^2 + 6k + 1 = (k + 3)^2 - 9 + 1 = (k + 3)^2 - 8 < 0 \)（因为 \( (k + 3)^2 \geq 0 \)，减8后小于0）。
由于 \( \Delta < 0 \)，且二次项系数 \( k \neq 0 \)，所以方程总有两个不同的实数根。

9.

拓展探究：

a. 若线段满足 \( \frac{a}{b} = \frac{b}{c} \) 且 \( a = b + c \)，证明比例 \( \frac{a}{b} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \)（黄金比例）；

b. 证明无限嵌套平方根 \( \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots}}}} = 2 \)（提示：设其值为 \( x \)，列方程求解）。

答案：
a. 设 \( \frac{a}{b} = \frac{b}{c} = r \)，则 \( a = rb \)，\( b = rc \)，\( c = \frac{b}{r} \)。
由 \( a = b + c \) 得 \( rb = b + \frac{b}{r} \)，\( rb - b = \frac{b}{r} \)，\( b(r - 1) = \frac{b}{r} \)，
\( r - 1 = \frac{1}{r} \)，\( r^2 - r - 1 = 0 \)，\( r = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \)。
b. 设 \( x = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots}}}} \)，则 \( x = \sqrt{2 + x} \)，
\( x^2 = 2 + x \)，\( x^2 - x - 2 = 0 \)，\( (x - 2)(x + 1) = 0 \)，\( x = 2 \)（舍去负根）。

练习技巧与建议

💡 练习策略

循序渐进：按照基础→提升→挑战的顺序练习，确保每个难度都掌握牢固
独立思考：先尝试独立解答，再查看答案核对，避免养成依赖答案的习惯
举一反三：完成一道题后，思考是否可以改变条件或推广到一般情况
时间管理：合理分配答题时间，基础题快速完成，提高题和挑战题适当多花时间
错误分析：错题要仔细分析原因，建立错题集，避免重复犯错

通过系统练习，你将熟练掌握二次方程与二次函数的核心概念，为后续高等数学学习奠定坚实的基础。

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