一、线性联立方程的定义
含有两个未知数的线性联立方程（Linear simultaneous equations），是指能让一组（两个）线性方程同时成立的未知数取值组合。例如方程组 \( \begin{cases} x + 3y = 11 \\ 4x - 5y = 10 \end{cases} \)，解 \( x = 5, y = 2 \) 可使两个方程同时成立（代入后等式均成立）。
二、解法：消元法（Elimination）
通过对两个方程变形（如乘以某系数），使某一未知数的系数相等或相反，再将方程相加/相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程求解。
步骤示例：解 \( \begin{cases} 2x + 3y = 8 \quad (1) \\ 3x - y = 23 \quad (2) \end{cases} \)
1. 为消去 \( y \)，将方程 (2) 乘 3，得 \( 9x - 3y = 69 \quad (3) \)；
2. (1) + (3)：\( (2x + 3y) + (9x - 3y) = 8 + 69 \)，消去 \( y \) 得 \( 11x = 77 \)，解得 \( x = 7 \)；
3. 代入 (1)：\( 2×7 + 3y = 8 \)，解得 \( y = -2 \)；
4. 验证：代入 (2)，\( 3×7 - (-2) = 23 \)，等式成立。
三、解法：代入法（Substitution）
从一个方程解出一个未知数（用另一未知数表示），代入另一方程消去该未知数，转化为一元一次方程求解。
步骤示例：解 \( \begin{cases} 2x - y = 1 \quad (1) \\ 4x + 2y = -30 \quad (2) \end{cases} \)
1. 从 (1) 解出 \( y \)：\( y = 2x - 1 \)；
2. 代入 (2)：\( 4x + 2(2x - 1) = -30 \)；
3. 整理得 \( 8x = -28 \)，解得 \( x = -3\frac{1}{2} \)；
4. 代入 \( y = 2x - 1 \)，得 \( y = -8 \)；
5. 验证：代入 (2)，\( 4×(-3.5) + 2×(-8) = -30 \)，等式成立。
总结
线性联立方程（二元一次方程组）的核心是找到使两个方程同时成立的未知数取值，主要解法为：
- 消元法：变形方程使某一未知数系数相等/相反，相加/相减消元，转化为一元一次方程求解。
- 代入法：从一个方程解出未知数（用另一未知数表示），代入另一方程消元求解。
所有解需代入原方程验证；含参数的方程组可通过"消元"或"代入已知解"分析参数。