一、定义与特征
二次联立方程（Quadratic simultaneous equations） 由一个线性方程（含一次项，如 \( ax + by = c \)）和一个二次方程（含 \( x^2 \)、\( y^2 \) 或 \( xy \) 项，如 \( ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 \)）组成。由于二次方程的曲线特性，这类方程组最多有2组解（对应直线与二次曲线的交点个数）。
二、解法：代入消元法
核心是通过"代入"消去一个变量，将方程组转化为一元二次方程求解，步骤如下：
📝 代入消元法步骤
- 从线性方程解变量：从线性方程中解出一个变量（用另一个变量表示）。
例如，对线性方程 \( x + 2y = 3 \)，解出 \( x = 3 - 2y \)。
- 代入二次方程：将"解出的变量表达式"代入二次方程，得到关于单个变量的一元二次方程。
如把 \( x = 3 - 2y \) 代入 \( x^2 + 3xy = 10 \)，转化为仅含 \( y \) 的方程。
- 解一元二次方程：用因式分解、求根公式等方法，解出该变量的所有可能值。
- 回代求另一变量：将已求出的变量值，代入"线性方程解出的表达式"，求出另一变量的值。
- 验证解的正确性：将 \( (x, y) \) 代入原二次方程，确认等式成立（避免计算错误）。
三、示例演示
解方程组：
\[
\begin{cases}
x + 2y = 3 \quad (1) \\
x^2 + 3xy = 10 \quad (2)
\end{cases}
\]
步骤1：由 (1) 解出 \( x = 3 - 2y \)。
步骤2：代入 (2)，得 \( (3 - 2y)^2 + 3(3 - 2y)y = 10 \)。
步骤3：展开并整理：
\( 9 - 12y + 4y^2 + 9y - 6y^2 = 10 \implies -2y^2 - 3y - 1 = 0 \implies 2y^2 + 3y + 1 = 0 \)
因式分解得 \( (2y + 1)(y + 1) = 0 \)，解得 \( y = -\frac{1}{2} \) 或 \( y = -1 \)。
步骤4：回代求 \( x \)：
当 \( y = -\frac{1}{2} \) 时，\( x = 3 - 2×(-\frac{1}{2}) = 4 \);
当 \( y = -1 \) 时，\( x = 3 - 2×(-1) = 5 \)。
步骤5：验证：
\( (4, -\frac{1}{2}) \) 代入 (2)：\( 4^2 + 3×4×(-\frac{1}{2}) = 16 - 6 = 10 \)，成立；
\( (5, -1) \) 代入 (2)：\( 5^2 + 3×5×(-1) = 25 - 15 = 10 \)，成立。
总结
二次联立方程（"线性 + 二次"型）的核心解法是代入消元法，步骤可概括为：
- 从线性方程解出一个变量（用另一变量表示）；
- 代入二次方程，转化为一元二次方程；
- 解一元二次方程，得到一个变量的解；
- 回代求另一变量，验证解的正确性。
这类方程组的解的个数由"直线与二次曲线的交点个数"决定，最多有2组解，需注意解的"配对性"（每个 \( x \) 对应唯一的 \( y \)）。