## 教材全解
线性不等式是用不等号（\(>\)、\(\geq\)、\(<\)、\(\leq\)）连接的一次不等式，解法与线性方程相似，但需注意：当不等式两边乘或除以负数时，不等号方向要改变。
1. 单一线性不等式的解法
核心步骤：将含\(x\)的项移到一侧，常数项移到另一侧，再化简系数为1（注意不等号方向）。
示例1：解\(5x + 9 \geq x + 20\)
解答：
- 移项：\(5x - x \geq 20 - 9\)
- 合并同类项：\(4x \geq 11\)
- 系数化为1：\(x \geq \frac{11}{4} = 2.75\)
- 集合表示：\(\{ x: x \geq 2.75 \}\)
示例2：解\(12 - 3x < 27\)
解答：
- 移项：\(-3x < 27 - 12\)
- 合并同类项：\(-3x < 15\)
- 系数化为1（除以\(-3\)，不等号方向改变）：\(x > -5\)
2. 复合线性不等式的解法
复合不等式由"且（and）"或"或（or）"连接，解集逻辑不同：
复合不等式解集逻辑
- "且（and）"：取两个不等式解集的交集（需同时满足两个条件）；
- "或（or）"：取两个不等式解集的并集（满足其中一个条件即可）。
示例3：解\(3x - 5 < x + 8\) and \(5x > x - 8\)
解答：
- 解\(3x - 5 < x + 8\)：移项得\(2x < 13\)，即\(x < 6.5\)；
- 解\(5x > x - 8\)：移项得\(4x > -8\)，即\(x > -2\)；
- "and"取交集，解集为\(-2 < x < 6.5\)。
示例4：解\(x - 5 > 1 - x\) or \(15 - 3x > 5 + 2x\)
解答：
- 解\(x - 5 > 1 - x\)：移项得\(2x > 6\)，即\(x > 3\)；
- 解\(15 - 3x > 5 + 2x\)：移项得\(-5x > -10\)，系数化为1（除以\(-5\)，不等号改变）得\(x < 2\)；
- "or"取并集，解集为\(x < 2\) 或 \(x > 3\)。
## 章节练习
通过以下题目巩固线性不等式（单一线性、复合、集合运算）的解法：
1. 单一线性不等式求解
解下列不等式，并用集合表示解集：
练习题
- a. \(2(x - 3) \geq 0\)
- b. \(8(1 - x) > x - 1\)
- c. \(3(x + 7) \leq 8 - x\)
- d. \(2(x - 3) - (x + 12) < 0\)
- e. \(1 + 11(2 - x) < 10(x - 4)\)
- f. \(2(x - 5) \geq 3(4 - x)\)
2. 复合不等式（and/or）求解
用集合符号表示下列复合不等式的解集：
练习题
- a. \(3(x - 2) > x - 4\) and \(4x + 12 > 2x + 17\)
- b. \(2x - 5 < x - 1\) and \(7(x + 1) > 23 - x\)
- c. \(2x - 3 > 2\) and \(3(x + 2) < 12 + x\)
- d. \(15 - x < 2(11 - x)\) and \(5(3x - 1) > 12x + 19\)
- e. \(3x + 8 \leq 20\) and \(2(3x - 7) \geq x + 6\)
- f. \(5x + 3 < 9\) or \(5(2x + 1) > 27\)
- g. \(4(3x + 7) \leq 20\) or \(2(3x - 5) \geq \frac{7 - 6x}{2}\)
3. 挑战题（集合运算）
已知集合：
\(A = \{ x: 3x + 5 > 2 \}\)，\(B = \{ x: \frac{x}{2} + 1 \leq 3 \}\)，\(C = \{ x: 11 < 2x - 1 \}\)。
且\(A \cap (B \cup C) = \{ x: p < x \leq q \} \cup \{ x: x > r \}\)，求\(p\)、\(q\)、\(r\)的值。
## 章节总结
1. 核心解法
解线性不等式的步骤与线性方程一致（移项、合并同类项、系数化为1），但需注意：当两边乘或除以负数时，不等号方向必须改变。
2. 复合不等式的解集逻辑
解集运算规则
- "且（and）"：两个不等式的解集交集（需同时满足）；
- "或（or）"：两个不等式的解集并集（满足其一即可）。
3. 集合表示
用\(\{ x: \text{不等式} \}\)表示"使不等式成立的所有实数\(x\)的集合"，结合"\(\cap\)（交集）""\(\cup\)（并集）"描述复合条件的解集。
4. 易错点
常见错误提醒
- 移项时符号错误；
- 乘除负数时忘记改变不等号方向；
- 复合不等式中"and""or"的解集逻辑混淆。