一、二次不等式的定义与核心解法步骤
二次不等式是形如 \( ax^2 + bx + c \, \Box \, 0 \)（\( \Box \) 为 \( >, \geq, <, \leq \)，且 \( a \neq 0 \)）的不等式。解法核心是借助二次函数的图像与x轴的交点（临界值），结合抛物线开口方向，确定不等式的解集，具体分四步：
📝 二次不等式解法四步流程
- 移项使右边为0：将不等式整理为 \( ax^2 + bx + c \, \Box \, 0 \) 的标准形式。
- 解对应二次方程：求解 \( ax^2 + bx + c = 0 \)，得到二次函数与x轴交点的横坐标（称为"临界值"）。
- 分析抛物线开口方向：由二次项系数 \( a \) 的符号判断：\( a > 0 \) 时抛物线开口向上，\( a < 0 \) 时开口向下。
- 结合图像确定解集：根据"开口方向"和"临界值"，判断抛物线在x轴上方（\( y > 0 \)）或下方（\( y < 0 \)）的x取值范围，即为不等式的解集。
二、示例解析：标准二次不等式
示例：\( x^2 - 4x - 5 > 0 \)
步骤1：不等式已为 \( x^2 - 4x - 5 > 0 \)，右边为0。
步骤2：解 \( x^2 - 4x - 5 = 0 \)，因式分解得 \( (x + 1)(x - 5) = 0 \)，临界值为 \( x = -1 \) 和 \( x = 5 \)。
步骤3：二次项系数 \( a = 1 > 0 \)，抛物线开口向上。
步骤4：开口向上时，\( y > 0 \) 对应"抛物线在x轴上方的部分"，即 \( x < -1 \) 或 \( x > 5 \)，解集为 \( \{ x: x < -1 \} \cup \{ x: x > 5 \} \)；若不等式为 \( x^2 - 4x - 5 < 0 \)，则 \( y < 0 \) 对应 \( -1 < x < 5 \)，解集为 \( \{ x: -1 < x < 5 \} \)。
三、示例解析：二次项系数为负的情况
示例：\( 3 - 5x - 2x^2 < 0 \)
步骤1：整理为 \( -2x^2 - 5x + 3 < 0 \)，为方便因式分解，两边乘 \(-1\)（不等号方向改变），得 \( 2x^2 + 5x - 3 > 0 \)。
步骤2：解 \( 2x^2 + 5x - 3 = 0 \)，因式分解得 \( (2x - 1)(x + 3) = 0 \)，临界值为 \( x = \frac{1}{2} \) 和 \( x = -3 \)。
步骤3：二次项系数 \( a = 2 > 0 \)，抛物线开口向上。
步骤4：原不等式等价于 \( 2x^2 + 5x - 3 > 0 \)，开口向上时 \( y > 0 \) 的区域为 \( x < -3 \) 或 \( x > \frac{1}{2} \)，故原不等式解集为 \( \{ x: x < -3 \} \cup \{ x: x > \frac{1}{2} \} \)。
四、示例解析：分式不等式转化为二次不等式
示例：\( \frac{6}{x} > 2 \)（\( x \neq 0 \)，Example 11）
步骤1：移项通分，整理为 \( \frac{6}{x} - 2 > 0 \)，即 \( \frac{6 - 2x}{x} > 0 \)。
步骤2：分式不等式 \( \frac{A}{B} > 0 \) 等价于 \( A \cdot B > 0 \)（\( B \neq 0 \)），因此转化为 \( (6 - 2x) \cdot x > 0 \)，进一步整理为 \( -2x^2 + 6x > 0 \)，乘 \(-1\)（不等号改变）得 \( 2x^2 - 6x < 0 \)，即 \( 2x(x - 3) < 0 \)。
步骤3：解 \( 2x(x - 3) = 0 \)，临界值为 \( x = 0 \) 和 \( x = 3 \)；二次项系数 \( a = 2 > 0 \)，抛物线开口向上。
步骤4：\( 2x(x - 3) < 0 \) 对应抛物线在x轴下方的区域，结合原分式分母 \( x \neq 0 \)，解集为 \( \{ x: 0 < x < 3 \} \)。
总结
二次不等式的解法核心是数形结合，通过分析二次函数图像与x轴的位置关系来确定解集。掌握这种方法不仅能快速解题，还能帮助理解二次函数的性质。
记住要点：
- 四步解法流程：移项 → 求临界值 → 判断开口 → 确定解集
- 开口向上（a > 0）：y > 0 在临界值两侧，y < 0 在临界值之间
- 开口向下（a < 0）：y < 0 在临界值两侧，y > 0 在临界值之间
- 分式不等式：优先转化为整式乘积形式