← 返回3.6导航

3.6 Inequalities on Graphs - 教材全解

图像上的不等式 - 掌握通过函数图像位置关系解不等式,利用图像的上下关系直观求解

## 教材全解(图像上的不等式核心知识)

核心思想

通过函数图像的上下位置关系解不等式,关键结论为:

  • 若曲线 \( y = f(x) \) 在曲线 \( y = g(x) \) 下方,则 \( x \) 满足 \( f(x) < g(x) \);
  • 若曲线 \( y = f(x) \) 在曲线 \( y = g(x) \) 上方,则 \( x \) 满足 \( f(x) > g(x) \)。

解题步骤与示例(以Example 12为例)

解"图像上的不等式"分两步:

解题步骤
  1. 求交点:联立 \( y = f(x) \) 与 \( y = g(x) \),解方程组得交点横坐标(临界值)。
    如 \( L_1: y = 12 + 4x \),\( L_2: y = x^2 \),联立得 \( x^2 = 12 + 4x \),即 \( x^2 - 4x - 12 = 0 \),因式分解为 \( (x - 6)(x + 2) = 0 \),解得 \( x = 6 \) 或 \( x = -2 \),对应交点 \( P_1(6, 36) \)、\( P_2(-2, 4) \)。
  2. 判断图像上下区域:观察图像,确定 \( f(x) \) 在 \( g(x) \) 上方/下方的 \( x \) 范围。
    直线 \( L_1 \) 在抛物线 \( L_2 \) 上方的区域为 \( -2 < x < 6 \),因此不等式 \( 12 + 4x > x^2 \) 的解集为 \( -2 < x < 6 \)。

## 章节练习(巩固图像不等式解法)

1. 直线与直线的不等式(Exercise 3F第1题)

已知 \( L_1: 2y + 3x = 6 \),\( L_2: x - y = 5 \):

练习题
  • a. 求两直线交点 \( P \) 的坐标;
  • b. 写出不等式 \( 2y + 3x > x - y \) 的解集。

2. 曲线与直线的不等式(习题3)

求使曲线 \( y = f(x) \) 在直线 \( y = g(x) \) 下方的 \( x \) 集合:

练习题
  • a. \( f(x) = 3x^2 - 2x - 1 \),\( g(x) = x + 5 \);
  • b. \( f(x) = 2x^2 - 4x + 1 \),\( g(x) = 3x - 2 \);
  • c. \( f(x) = 5x - 2x^2 - 4 \),\( g(x) = -2x - 1 \);
  • d. \( f(x) = \frac{2}{x} (x \neq 0) \),\( g(x) = 1 \);
  • e. \( f(x) = \frac{3}{x^2} - \frac{4}{x} (x \neq 0) \),\( g(x) = -1 \);
  • f. \( f(x) = \frac{2}{x + 1} (x \neq -1) \),\( g(x) = 8 \)。

3. 挑战题(二次曲线与二次曲线的不等式)

已知 \( f(x) = x^2 - 4x - 12 \),\( g(x) = 6 + 5x - x^2 \):

练习题
  • a. 求两曲线交点的坐标;
  • b. 用集合符号写出 \( f(x) < g(x) \) 的解集。

## 章节总结(核心要点与思想方法)

1. 核心结论

函数图像的上下位置与不等式的对应关系:

图像位置与不等式的关系
  • \( y = f(x) \) 在 \( y = g(x) \) 下方 \( \Leftrightarrow f(x) < g(x) \);
  • \( y = f(x) \) 在 \( y = g(x) \) 上方 \( \Leftrightarrow f(x) > g(x) \)。

2. 解题步骤

解"图像上的不等式"的通用流程:

通用解题流程
  1. 联立求交点:解 \( f(x) = g(x) \),得图像交点的横坐标(临界值);
  2. 分析区域范围:结合图像形状,判断 \( f(x) \) 相对于 \( g(x) \) "上/下"的 \( x \) 范围,即为解集。

3. 思想方法

数形结合思想
  • 数形结合:将抽象不等式转化为直观的图像位置问题,简化代数运算;
  • 转化与化归:把"图像不等式"分解为"求交点 + 区域判断",降低问题复杂度。

4. 易错点

常见错误提醒
  • 求交点时解方程出错,导致临界值错误;
  • 混淆"上方""下方"的区域判断(尤其分式函数需注意定义域和图像趋势);
  • 忽略函数定义域限制(如分式分母不为0)。