## 教材全解（不等式区域的图像表示）
核心规则
通过图像阴影标识满足线性或二次不等式的区域，关键结论与绘图规则如下：
1. 区域与曲线的上下关系
- \( y < f(x) \)：坐标平面中，曲线 \( y = f(x) \) 下方的点满足该不等式；
- \( y > f(x) \)：坐标平面中，曲线 \( y = f(x) \) 上方的点满足该不等式。
2. 边界线的虚实规则
- 若不等式为 \( y > f(x) \) 或 \( y < f(x) \)，曲线 \( y = f(x) \) 不包含在区域内，用虚线表示；
- 若不等式为 \( y \geq f(x) \) 或 \( y \leq f(x) \)，曲线 \( y = f(x) \) 包含在区域内，用实线表示。
3. 多不等式区域的绘制步骤（以Example 13为例）
需满足 \( y \geq -4 \)，\( x < 5 \)，\( y \leq 3x + 2 \)，\( x > 0 \)：
绘制多不等式区域的步骤
- 绘制各边界线，区分虚实：
- \( x = 0 \)（\( x > 0 \)，不包含边界）、\( x = 5 \)（\( x < 5 \)，不包含边界）用虚线；
- \( y = -4 \)（\( y \geq -4 \)，包含边界）、\( y = 3x + 2 \)（\( y \leq 3x + 2 \)，包含边界）用实线。
- 确定每个不等式的区域，取交集：多不等式同时满足的重叠区域。
- 测试区域内一点：如\( (1, 2) \)，验证是否满足所有不等式，确保阴影区域正确。
## 章节练习（巩固区域表示与不等式组）
1. 直线型不等式组的区域与交点（习题6）
已知直线 \( y = x + 1 \)，\( y = 7 - x \)，\( x = 1 \)：
练习题
- a. 求这些直线的交点坐标；
- b. 写出阴影区域对应的不等式组。
2. 曲线与直线结合的不等式组（习题7）
已知曲线 \( y = 2 - 5x - x^2 \)，直线 \( 2x + y = 0 \)，\( x + y = 4 \)，写出阴影区域对应的不等式组。
3. 综合练习：阴影区域的绘制与分析（习题8）
练习题
- a. 在坐标网格中，阴影表示满足 \( y < x + 4 \)，\( y + 5x + 3 \geq 0 \)，\( y \geq -1 \)，\( x < 2 \) 的区域；
- b. 求阴影区域的顶点坐标；
- c. 判断哪些顶点包含在不等式区域内；
- d. 计算阴影区域的面积。
## 章节总结（核心要点与思想方法）
1. 核心规则
不等式区域的基本规则
- 不等式 \( y \Box f(x) \)（\( \Box \) 为 \( >, <, \geq, \leq \)）的区域：根据"上下关系"判断，\( >/\geq \) 对应上方，\( 下方；
- 边界线虚实：包含边界（\( \geq, \leq \)）用实线，不包含边界（\( >, < \)）用虚线。
2. 多不等式区域的绘制逻辑
多不等式（如 \( A, B, C \)）的满足区域是各不等式区域的交集（同时满足 \( A \) 且 \( B \) 且 \( C \) 的重叠部分）。
3. 思想方法
数形结合与分步验证思想
- 数形结合：将抽象的不等式组转化为直观的图像阴影区域，简化条件判断；
- 分步验证：绘制多不等式区域时，分步处理每个不等式的区域，再通过"测试点"验证重叠区域的正确性。
4. 易错点
常见错误提醒
- 混淆边界线的虚实（尤其 \( >/< \) 与 \( \geq/\leq \) 的区别）；
- 多不等式区域取"交集"时，误判重叠范围；
- 测试点选择不当，导致区域判断错误。