一、基础作图：与坐标轴的交点
画出下列曲线，并标出与坐标轴的交点坐标：
a. \( y = (x - 2)^3 \)
解答：
1. 求根：\( x = 2 \)（三重根），图像在(2,0)处平滑穿过x轴；
2. 分析a：a = 1 > 0，图像右升；
3. y轴交点：(0, -8)；
图像：从左下方向右上升，在(2,0)处平滑穿过x轴，继续上升。
b. \( y = (x + 3)(x - 1)(x + 2) \)
解答：
1. 求根：x = -3, 1, -2（皆为单根），图像在三点穿过x轴；
2. 分析a：a = 1 > 0，图像右升；
3. y轴交点：(0, 6)；
图像：左下方上升，穿过(-3,0)，继续上升到(-2,0)，穿过后下降到(1,0)，穿过后上升。
c. \( y = (x - 1)^2(x + 3) \)
解答：
1. 求根：x = 1（二重根），x = -3（单根），图像在(-3,0)穿过，在(1,0)处接触后反弹；
2. 分析a：a = 1 > 0，图像右升；
3. y轴交点：(0, 3)；
图像：左下方上升，穿过(-3,0)，继续上升到(1,0)处接触反弹，继续上升。
二、进阶分析：由图像求系数
已知三次函数 \( y = x^3 + bx^2 + cx + d \) 的图像与x轴交于 (-3, 0)、(-2, 0)、(1, 0)：
a. 求 b, c, d 的值
解答：
由于图像与x轴交于(-3,0)、(-2,0)、(1,0)，函数有根x = -3, -2, 1。
因此：\( y = (x + 3)(x + 2)(x - 1) = x^3 + (4)x^2 + (-3)x - 6 \)
展开：\( (x + 3)(x + 2)(x - 1) = (x^2 + 5x + 6)(x - 1) = x^3 - x^2 + 5x^2 - 5x + 6x - 6 = x^3 + 4x^2 + x - 6 \)
所以：b = 4, c = 1, d = -6
b. 写出曲线与y轴交点的坐标
解答：
令x = 0：y = d = -6
与y轴交点：(0, -6)
三、综合作图：含不可约二次因式
画出曲线 \( y = (x - 2)(x^2 + x + 1) \) 的大致图像（提示：分析 \( x^2 + x + 1 \) 无实根，结合一次因式影响）。
作图分析与步骤
解答：
1. 求根：x = 2（单根），图像在(2,0)处穿过x轴；
2. 分析二次项：\( x^2 + x + 1 \) 无实根（判别式1-4=-3<0），图像不与x轴相交；
3. 分析a：a = 1 > 0，图像右升；
4. y轴交点：(0, 2)；
5. 图像特征：左下方上升到(0,2)，继续上升到(2,0)穿过，继续上升（二次项主导时向上）。
关键点：由于含不可约二次因式，图像整体呈上升趋势，只在x=2处穿过x轴一次。
四、综合应用练习
1. 分析函数 \( y = -(x + 1)^2(x - 3) \) 的图像特征
解答：
1. 求根：x = -1（二重根），x = 3（单根）；
2. 分析a：a = -1 < 0，图像右降；
3. y轴交点：(0, 3)；
图像：从右上方向左下方下降，在(3,0)穿过x轴，继续下降到(-1,0)处接触反弹，继续下降。
2. 比较 \( y = x(x - 1)^2 \) 和 \( y = (x - 1)^2x \) 的图像差异
解答：
两者都是相同函数（交换律），但根的重数不同：
第一种：根x=0（单根），x=1（二重根）；
第二种：根x=1（二重根），x=0（单根）。
图像特征完全相同，只是根的标记方式不同。