一、三次函数的定义
三次函数的一般形式为 \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \)，其中 \( a, b, c, d \) 为实数，且 \( a \neq 0 \)。\( a \) 的符号决定图像的整体趋势：
\( a > 0 \) 时，图像"右升"（\( x \to +\infty \) 时，\( y \to +\infty \)）；
\( a < 0 \) 时，图像"右降"（\( x \to +\infty \) 时，\( y \to -\infty \)）。
二、三次函数图像的核心特征
与x轴的交点：若 \( p \) 是 \( f(x) \) 的根（\( f(p) = 0 \)），则图像在 \( (p, 0) \) 处穿过或接触x轴。
根的重数对图像的影响：
- 单根（如 \( (x - 1)(x + 2)(x + 3) \) 的根）：图像穿过x轴；
- 二重根（如 \( (x - 1)^2(x + 1) \) 中 \( x = 1 \)）：图像接触x轴后反弹；
- 三重根（如 \( (x - 2)^3 \) 中 \( x = 2 \)）：图像平滑穿过x轴。
三、三次函数的作图步骤
步骤1：求根（解 \( f(x) = 0 \)），确定与x轴的交点；
步骤2：分析 \( a \) 的符号，确定图像整体趋势（右升/右降）；
步骤3：求与y轴的交点（令 \( x = 0 \)，得 \( y = d \)，即 \( (0, d) \)）；
步骤4：结合根的重数和整体趋势，描绘图像。
示例（以 \( y = x(x + 1)(x + 2) \) 为例）：
1. 求根：\( x = 0, -1, -2 \)（单根），图像在三点穿过x轴；
2. 分析 \( a \)：\( a = 1 > 0 \)，图像右升；
3. 与y轴交点：\( (0, 0) \)（过原点）；
4. 作图：结合"右升"和三个单根，可画出大致图像。
四、典型图像特征总结
📈 图像特征要点：
- 基本形状：三次函数图像呈"S"形或反"S"形，具有一个拐点；
- 端点行为：当 \( |x| \) 很大时，三次项 \( ax^3 \) 占主导地位，图像向右上升（a>0）或下降（a<0）；
- 拐点：三次函数通常有一个拐点，是导数为零的点；
- 与坐标轴：最多三个x轴交点，最多两个转折点。
一般形式： \( y = ax^3 + bx^2 + cx + d \)
导函数： \( y' = 3ax^2 + 2bx + c \)
拐点： \( y'' = 6ax + 2b = 0 \) 求得
五、特殊情况分析
1. 含不可约二次因式
当三次函数不能完全因式分解时，如 \( y = (x - 2)(x^2 + x + 1) \)，其中 \( x^2 + x + 1 \) 无实根：
分析步骤：
1. 求已知根：\( x = 2 \)（单根），图像穿过x轴；
2. 分析二次项：\( x^2 + x + 1 \) 无实根，不与x轴相交；
3. 确定整体趋势：视具体 \( a \) 值决定右升或右降；
4. 作图：结合已知交点和整体趋势描绘图像。
2. 重根情况
不同重数的根对图像影响不同：
- 单根：图像穿过x轴；
- 二重根：图像在交点处切于x轴；
- 三重根：图像在交点处平滑穿过x轴。
总结
三次函数图像与作图的核心是掌握四个关键要素：
- 求根确定交点：解三次方程求与x轴交点；
- 分析系数符号：\( a \) 的符号决定整体趋势；
- 确定重数影响：根的重数影响交点处的图像形态；
- 结合y轴交点：确定函数在y轴上的截距。
通过数形结合的方法，可以准确描绘三次函数的图像特征，为进一步分析函数性质打下基础。