一、教材全解（反比例函数图像核心知识）
1. 反比例函数的形式与渐近线
反比例函数的常见形式为 \( y = \dfrac{k}{x} \) 和 \( y = \dfrac{k}{x^2} \)（其中 \( k \) 为非零实数）。
渐近线（Asymptote）：图像无限接近但永不相交的直线。对于 \( y = \dfrac{k}{x} \) 和 \( y = \dfrac{k}{x^2} \)，均有两条渐近线：
- 垂直渐近线：\( x = 0 \)（y轴）；
- 水平渐近线：\( y = 0 \)（x轴）。
2. \( y = \dfrac{k}{x} \) 的图像特征（基于 \( k \) 的符号）
- 当 \( k > 0 \) 时：图像位于第一、三象限，在每个象限内，\( y \) 随 \( x \) 的增大而减小（如 \( y = \dfrac{1}{x} \)）。
- 当 \( k < 0 \) 时：图像位于第二、四象限，在每个象限内，\( y \) 随 \( x \) 的增大而增大（如 \( y = \dfrac{-2}{x} \)）。
3. \( y = \dfrac{k}{x^2} \) 的图像特征（基于 \( k \) 的符号）
- 当 \( k > 0 \) 时：图像关于y轴对称，位于第一、二象限；在 \( x < 0 \) 时，\( y \) 随 \( x \) 的增大而增大；在 \( x > 0 \) 时，\( y \) 随 \( x \) 的增大而减小（如 \( y = \dfrac{2}{x^2} \)）。
- 当 \( k < 0 \) 时：图像关于y轴对称，位于第三、四象限；在 \( x < 0 \) 时，\( y \) 随 \( x \) 的增大而减小；在 \( x > 0 \) 时，\( y \) 随 \( x \) 的增大而增大（如 \( y = \dfrac{-5}{x^2} \)）。
4. 作图关键
步骤1：确定渐近线（\( x = 0 \) 和 \( y = 0 \)）；
步骤2：根据 \( k \) 的符号，判断图像所在象限；
步骤3：分析象限内 \( y \) 随 \( x \) 的变化趋势，描绘出"接近渐近线"的曲线形态。
关键要点：反比例函数图像永不与渐近线相交，且在接近渐近线时会趋近于无穷大或无穷小。
二、详细示例分析
示例1：\( y = \dfrac{1}{x} \) 的图像绘制
分析步骤：
1. 确定渐近线：垂直渐近线 \( x = 0 \)，水平渐近线 \( y = 0 \)
2. 判断象限：\( k = 1 > 0 \)，图像位于第一、三象限
3. 分析趋势：第一象限内，\( y \) 随 \( x \) 增大而减小；第三象限内，\( y \) 随 \( x \) 增大而减小
4. 作图：在第一象限从右上方向左下方接近坐标轴，在第三象限从左下方向右上方接近坐标轴
示例2：\( y = \dfrac{-2}{x^2} \) 的图像绘制
分析步骤：
1. 确定渐近线：垂直渐近线 \( x = 0 \)，水平渐近线 \( y = 0 \)
2. 判断象限：\( k = -2 < 0 \)，图像位于第三、四象限
3. 分析趋势：关于y轴对称，在第三象限 \( y \) 随 \( x \) 增大而减小，在第四象限 \( y \) 随 \( x \) 增大而增大
4. 作图：在第三、四象限描绘对称的曲线，都无限接近坐标轴
三、图像特征总结
核心特征：
- 都有两条渐近线：\( x = 0 \) 和 \( y = 0 \)
- 图像永不穿过渐近线，只会无限接近
- \( y = \dfrac{k}{x} \) 关于原点对称，\( y = \dfrac{k}{x^2} \) 关于y轴对称
- \( |k| \) 越大，图像越"陡峭"，越接近坐标轴
通过掌握这些特征，可以快速准确地绘制反比例函数的图像，为解决相关数学问题打下坚实的基础。