一、基础练习：二次与三次函数的交点
在同一坐标系中画出 \( y = x^2 - 4 \)（二次函数）和 \( y = x^3 - 3x \)（三次函数）的图像，然后：
a. 求两曲线交点的坐标
解答：
联立方程：\( x^3 - 3x = x^2 - 4 \)
移项：\( x^3 - 3x - x^2 + 4 = 0 \)
\( x^3 - x^2 - 3x + 4 = 0 \)
通过图像观察或求解可得交点：(-2, 0)、(-1, -4)、(2, 0)
交点坐标：(-2, 0)、(-1, -4)、(2, 0)
b. 写出方程 \( x^3 - 3x = x^2 - 4 \) 的实数解
解答：
根据交点坐标，方程的实数解为：x = -2, x = -1, x = 2
图像分析：两条曲线有3个交点，故方程有3个实数解。
二、提升练习：反比例与三次函数的交点分析
已知 \( a, b \) 为正的常数，完成以下任务：
a. 在同一坐标系中画出 \( y = x^2(x - a) \) 和 \( y = \frac{b}{x} \) 的图像
解答：
图像特征分析：
1. \( y = x^2(x - a) \)：三次函数，根为x=0（二重根）、x=a；右升趋势；
2. \( y = \frac{b}{x} \)：反比例函数，渐近线x=0、y=0；位于一、三象限；
3. 交点：结合参数正性，反比例函数与三次函数有两个交点。
b. 结合图像，说明方程 \( x^4 - ax^3 - b = 0 \) 的实数解个数，并给出理由
解答：
根据图像分析，方程 \( x^4 - ax^3 - b = 0 \) 有2个实数解。
理由：两条曲线有两个交点，故方程有两个实数解。
图像依据：三次函数与反比例函数的交点个数为2。
三、拓展练习：利用图像判断"无解"情况
a. 在同一坐标系中画出 \( y = \frac{1}{x} \) 和 \( y = -x(x - 1)^2 \) 的图像
解答：
图像特征分析：
1. \( y = \frac{1}{x} \)：反比例函数，渐近线x=0、y=0；位于一、三象限；
2. \( y = -x(x - 1)^2 \)：四次函数（含负号），根x=0（三重根）、x=1（单根）；开口向下；
3. 交点分析：两条曲线在实数范围内没有交点。
b. 解释图像如何说明方程 \( 1 + x^2(x - 1)^2 = 0 \) 无实数解
解答：
方程 \( 1 + x^2(x - 1)^2 = 0 \) 等价于 \( \frac{1}{x} = -x(x - 1)^2 \)，即两条曲线方程。
图像显示两条曲线没有交点，故原方程无实数解。
数学依据：左边 \( \frac{1}{x} > 0 \)（x>0时），右边 \( -x(x-1)^2 < 0 \)，两者符号相反，无交点。
四、综合应用练习
1. 分析函数 \( y = x^2 - 2x \) 与 \( y = \frac{2}{x} \) 的交点情况
解答：
图像显示有两个交点，故方程 \( x^2 - 2x = \frac{2}{x} \) 有两个实数解。
图像分析：二次函数开口向上，反比例函数位于一、三象限，两者有两个交点。
2. 判断方程 \( x^3 + x = 1 \) 的实数解个数（基于图像分析）
解答：
方程 \( x^3 + x = 1 \) 等价于 \( x^3 + x - 1 = 0 \)，即曲线 \( y = x^3 + x \) 与 \( y = 1 \) 的交点。
三次函数y = x^3 + x右升，与水平线y=1有1个交点，故有1个实数解。
图像依据：三次函数严格递增，与水平线恰好一个交点。