一、点的平移对应关系
已知点 \( P(4, -1) \) 在 \( y = f(x) \) 上：
a. 求 \( P \) 在 \( y = f(x - 2) \) 上的对应点
解答：
原函数水平平移：\( y = f(x - 2) \) 表示原图像右移2个单位。
点P在新图像上对应点的x坐标：4 + 2 = 6
y坐标不变：-1
对应点：(6, -1)
b. 求 \( P \) 在 \( y = f(x) + 3 \) 上的对应点
解答：
原函数垂直平移：\( y = f(x) + 3 \) 表示原图像上移3个单位。
点P在新图像上对应点的x坐标不变：4
y坐标：-1 + 3 = 2
对应点：(4, 2)
二、反比例函数的平移与渐近线
反比例函数 \( f(x) = \frac{1}{x} \) 平移后，渐近线为 \( x = 4 \) 和 \( y = 0 \)，求变换后函数（形式为 \( y = \frac{1}{x + a} \)）的表达式。
求变换后函数表达式
解答：
原函数：\( y = \frac{1}{x} \)，渐近线x=0, y=0
变换后渐近线x=4，说明水平右移4个单位
变换形式：\( y = \frac{1}{x - 4} \)
渐近线分析：垂直渐近线从x=0变为x=4，说明右移4单位；水平渐近线仍是y=0，说明无垂直平移。
三、三次函数的平移作图
a. 画出 \( y = x^3 - 5x^2 + 6x \) 的图像，标坐标轴交点
解答：
令y=0：\( x^3 - 5x^2 + 6x = 0 \)，\( x(x^2 - 5x + 6) = 0 \)，\( x(x-2)(x-3) = 0 \)
交点：(0,0)、(2,0)、(3,0)
图像：过原点，三次函数右升趋势。
b. 利用平移，画出 \( y = (x - 2)^3 - 5(x - 2)^2 + 6(x - 2) \) 的图像
解答：
原函数右移2个单位得到新函数。
新函数交点：原交点x坐标+2，即(2,0)、(4,0)、(5,0)
图像：相对原图像右移2个单位，保持形状不变。
四、平移与定点的关系
曲线 \( y = (x + a)^3 + 4(x + a)^2 + 4(x + a) \) 过点 \( (-1, 0) \)，求常数 \( a \) 的两个可能值。
求常数a的值
解答：
设原函数 \( f(x) = x^3 + 4x^2 + 4x \)，则变换后函数为 \( y = f(x + a) \)
过点(-1, 0)：f(-1 + a) = 0
即 \( (-1 + a)^3 + 4(-1 + a)^2 + 4(-1 + a) = 0 \)
令t = a - 1：t^3 + 4t^2 + 4t = 0，t(t^2 + 4t + 4) = 0，t(t+2)^2 = 0
t=0或t=-2
a-1=0 ⇒ a=1；a-1=-2 ⇒ a=-1
分析：原函数根为x=0（三重根），变换后根为x=-a。
五、综合应用练习
1. 分析函数 \( y = (x - 1)^2 - 3 \) 的平移过程
解答：
原函数 \( y = x^2 \)，变换为 \( y = (x - 1)^2 - 3 \)
过程：先右移1个单位，再下移3个单位。
顶点从(0,0)变为(1,-3)
2. 判断 \( y = \frac{1}{x + 2} - 1 \) 是由哪种函数平移得到
解答：
原函数 \( y = \frac{1}{x} \)，变换为 \( y = \frac{1}{x + 2} - 1 \)
过程：先左移2个单位，再下移1个单位。
渐近线从x=0,y=0变为x=-2,y=-1