一、函数图像的平移变换
函数图像的平移变换通过改变函数表达式，使图像沿x轴或y轴方向移动，核心规则如下：
1. 垂直平移（沿y轴方向）
若函数变为 \( y = f(x) + a \)（常数 \( a \) 加在"函数外部"），图像是 \( y = f(x) \) 沿向量 \( \begin{pmatrix} 0 \\ a \end{pmatrix} \) 平移的结果：
\( a > 0 \)：向y轴正方向平移 \( a \) 个单位；
\( a < 0 \)：向y轴负方向平移 \( |a| \) 个单位。
💡 记忆口诀：
"外加减，上下移" - 常数加在函数外部，直接改变y值，导致图像上下移动。
2. 水平平移（沿x轴方向）
若函数变为 \( y = f(x + a) \)（常数 \( a \) 加在"函数内部"的 \( x \) 上），图像是 \( y = f(x) \) 沿向量 \( \begin{pmatrix} -a \\ 0 \end{pmatrix} \) 平移的结果：
\( a > 0 \)：向x轴负方向（左）平移 \( a \) 个单位；
\( a < 0 \)：向x轴正方向（右）平移 \( |a| \) 个单位（"左加右减"规律）。
💡 记忆口诀：
"内加减，左右移；左加右减" - 常数加在x上，改变自变量，导致图像左右移动，方向相反。
二、示例解析（结合具体函数）
二次函数示例
原函数：\( y = x^2 \)（顶点在原点）
1. \( y = (x - 2)^2 \) 是沿 \( \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} \) 右移2个单位；
2. \( y = x^2 + 2 \) 是沿 \( \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} \) 上移2个单位。
反比例函数示例
原函数：\( h(x) = \frac{1}{x} \)（渐近线 \( x = 0, y = 0 \)）
1. \( y = \frac{1}{x} + 1 \) 上移1个单位，水平渐近线变为 \( y = 1 \)；
2. \( y = \frac{1}{x - 1} \) 右移1个单位，垂直渐近线变为 \( x = 1 \)。
三次函数示例
原函数：\( f(x) = x^3 \)（过原点）
1. \( y = (x + 1)^3 \) 是沿 \( \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix} \) 左移1个单位，过点 \( (-1, 0) \)；
2. \( y = x^3 - 2 \) 是沿 \( \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix} \) 下移2个单位。
三、平移变换的几何意义
📐 变换本质：
- 垂直平移：改变函数值，图像整体上下移动
- 水平平移：改变自变量，图像整体左右移动
- 复合变换：可以同时进行水平和垂直平移
复合变换示例：
\( y = f(x - 2) + 3 \) 表示先右移2个单位，再上移3个单位
🔍 特征保持：
平移变换保持函数图像的形状、大小和方向，只改变位置。
四、特殊函数的平移特征
1. 渐近线函数的平移
反比例函数、指数函数等有渐近线的函数，平移会同时移动渐近线。
2. 交点函数的平移
与坐标轴有交点的函数，平移会改变交点位置。
3. 多项式函数的平移
多项式函数的所有特征（根、拐点等）都会相应移动。
⚠️ 注意事项：
平移变换不改变函数的奇偶性、对称性等基本性质，只改变位置。
五、逆变换应用
逆变换求解：
如果已知变换后的函数，求原函数：
1. 识别平移类型（水平或垂直）；
2. 确定平移量和方向；
3. 进行逆变换得到原函数。
示例： \( y = (x - 3)^2 + 1 \) 的原函数是 \( y = x^2 \)
总结
函数图像的平移变换是图象变换的基础，它建立了代数表达式变化与几何位置变化的直接联系。
核心要点：
- 垂直平移：\( y = f(x) + a \) → 上下移动
- 水平平移：\( y = f(x + a) \) → 左右移动，方向相反
- 特征保持：形状、大小、性质不变，只改变位置
- 广泛应用：适用于各种类型的函数图像
掌握平移变换规律，可以快速确定函数图像的位置变化，为进一步学习伸缩、反射等变换打下坚实基础。