二、章节练习（巩固图像伸缩变换）
1. 基础识别：伸缩类型与因子判断
指出下列函数是 \( y = f(x) \) 经过怎样的伸缩变换得到的（说明垂直/水平、伸缩因子、是否反射）：
a. \( y = 3f(x) \)；
解答：垂直伸缩，伸缩因子为3，无反射（因为 \( a = 3 > 0 \)）。
b. \( y = f(4x) \)；
解答：水平伸缩，伸缩因子为 \( \dfrac{1}{4} \)（因为水平伸缩因子是 \( \dfrac{1}{a} \)，无反射。
c. \( y = -2f(x) \)；
解答：垂直伸缩，伸缩因子为2（取绝对值），附加x轴反射（因为 \( a = -2 < 0 \)）。
d. \( y = f(-\dfrac{1}{3}x) \)。
解答：水平伸缩，伸缩因子为3（取绝对值），附加y轴反射（因为 \( a = -\dfrac{1}{3} < 0 \)）。
2. 画图练习：二次函数的伸缩
已知 \( f(x) = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 \)（顶点在 \( (1, 0) \) 的抛物线）：
a. 画出 \( y = f(x) \) 的图像；
分析：这是顶点在 \( (1, 0) \)，开口向上的抛物线。最低点在 \( (1, 0) \)，与x轴相切。
b. 画出 \( y = 2f(x) \) 的图像，对比顶点位置与开口宽窄；
分析：\( y = 2(x - 1)^2 \)，顶点仍在 \( (1, 0) \)，但开口变窄（伸长2倍）。图像被"拉长"，与x轴的交点仍只有一个（切点）。
c. 画出 \( y = f(2x) \) 的图像，分析与x轴的交点及图像宽窄变化。
解答：\( y = (2x - 1)^2 \)，这是原函数沿x轴压缩为原长的 \( \dfrac{1}{2} \)。顶点变为 \( \left( \dfrac{1}{2}, 0 \right) \)，开口宽度变为原来的一半，图像更"窄"。
3. 拓展练习：反比例函数的伸缩与渐近线
已知 \( f(x) = \dfrac{1}{x} \)（渐近线为 \( x = 0 \) 和 \( y = 0 \)）：
a. 画出 \( y = 3f(x) = \dfrac{3}{x} \) 的图像，说明渐近线与曲线的伸缩关系；
分析：渐近线不变，仍为 \( x = 0 \) 和 \( y = 0 \)。曲线在每个象限都被"拉高"3倍，距离渐近线更远。
b. 画出 \( y = f(3x) = \dfrac{1}{3x} \) 的图像，分析水平伸缩对渐近线与曲线形态的影响。
分析：水平渐近线仍为 \( y = 0 \)，垂直渐近线变为 \( x = 0 \)（压缩）。曲线在水平方向被压缩，增长更快，距离渐近线更近。
4. 综合应用：伸缩后图像的交点
设 \( f(x) = x(x - 3) \)，函数 \( y = 2f(x) \) 与 \( y = f(2x) \)：
a. 分别写出 \( y = 2f(x) \) 和 \( y = f(2x) \) 的表达式；
解答：
\( y = 2f(x) = 2x(x - 3) = 2x^2 - 6x \)
\( y = f(2x) = 2x(2x - 3) = 4x^2 - 6x \)
b. 求两函数图像的交点坐标。
解答：设两函数交点满足 \( 2x^2 - 6x = 4x^2 - 6x \)，即 \( 0 = 2x^2 \)，\( x = 0 \)。
当 \( x = 0 \) 时，\( y = 2(0)(0 - 3) = 0 \)，\( y = (0)(0 - 3) = 0 \)。交点为 \( (0, 0) \)。
练习技巧与建议
练习要点：
- 记住垂直伸缩 \( y = a f(x) \) 的因子是 \( a \)，水平伸缩 \( y = f(ax) \) 的因子是 \( \dfrac{1}{a} \)
- 注意 \( a < 0 \) 时会附加反射效果
- 伸缩变换不改变渐近线的斜率，只改变图像与渐近线的距离或渐近线的位置
- 画图时要特别注意顶点、交点和渐近线的变化
- 综合题目要注意区分垂直伸缩和水平伸缩的不同影响
通过这些练习，可以系统地掌握图像伸缩变换的核心技巧，为解决更复杂的函数变换问题打下坚实的基础。