一、教材全解（图像的伸缩变换核心知识）
图像的伸缩变换是指函数图像沿垂直方向（y轴）或水平方向（x轴）按比例"拉长"或"压缩"，核心分为垂直伸缩与水平伸缩两类：
1. 垂直伸缩（Vertical Stretch）
若函数变为 \( y = a f(x) \)（\( a \) 为非零常数），图像是 \( y = f(x) \) 沿垂直方向以比例因子 \( a \) 伸缩：
- 当 \( |a| > 1 \)：图像沿y轴伸长（"拉长"，如抛物线开口变窄）；
- 当 \( 0 < |a| < 1 \)：图像沿y轴压缩（"变扁"，如抛物线开口变宽）；
- 当 \( a < 0 \)：先按 \( |a| \) 伸缩，再关于x轴反射（同时完成伸缩与翻转）。
示例：
若 \( f(x) = x^2 \)，则 \( y = 2f(x) = 2x^2 \) 是 \( y = x^2 \) 沿y轴伸长2倍（顶点仍在原点，开口更窄）；
\( y = -0.5f(x) = -0.5x^2 \) 是 \( y = x^2 \) 沿y轴压缩为原长的0.5倍，再关于x轴反射（顶点在原点，开口向下且更宽）。
2. 水平伸缩（Horizontal Stretch）
若函数变为 \( y = f(ax) \)（\( a \) 为非零常数），图像是 \( y = f(x) \) 沿水平方向以比例因子 \( \dfrac{1}{a} \) 伸缩：
- 当 \( |a| > 1 \)：图像沿x轴压缩（"变窄"，如根号函数图像更紧凑）；
- 当 \( 0 < |a| < 1 \)：图像沿x轴伸长（"变宽"，如根号函数图像更展开）；
- 当 \( a < 0 \)：先按 \( |a| \) 伸缩，再关于y轴反射（同时完成伸缩与翻转）。
示例：
若 \( f(x) = \sqrt{x} \)（\( x \geq 0 \)），则 \( y = f(2x) = \sqrt{2x} \) 是 \( y = \sqrt{x} \) 沿x轴压缩为原长的 \( \dfrac{1}{2} \)（图像增长更快，定义域仍为 \( x \geq 0 \)）；
\( y = f(-\dfrac{1}{2}x) = \sqrt{-\dfrac{1}{2}x} \) 是 \( y = \sqrt{x} \) 沿x轴伸长2倍，再关于y轴反射（定义域变为 \( x \leq 0 \)，图像沿y轴左侧展开）。
关键要点：伸缩变换改变了图像的"宽窄"或"高矮"，但保持了图像的基本形状特征（如抛物线的开口方向、渐近线的存在等）。
二、伸缩变换的几何意义
垂直伸缩的几何解释
垂直伸缩 \( y = a f(x) \) 可以理解为：
- 保持x坐标不变
- 将y坐标乘以因子 \( a \)
- 相当于将图像上的每个点 \( (x, y) \) 变为 \( (x, a y) \)
水平伸缩的几何解释
水平伸缩 \( y = f(ax) \) 可以理解为：
- 保持y坐标不变
- 将x坐标除以因子 \( a \)（或乘以 \( \dfrac{1}{a} \)）
- 相当于将图像上的每个点 \( (x, y) \) 变为 \( \left( \dfrac{x}{a}, y \right) \)
记忆技巧：垂直伸缩影响y坐标（高度），水平伸缩影响x坐标（宽度）。
三、伸缩变换与渐近线
伸缩变换对渐近线的影响：
垂直伸缩对渐近线的影响
垂直伸缩不改变渐近线的斜率和位置，只改变图像相对于渐近线的距离。
水平伸缩对渐近线的影响
水平伸缩会改变垂直渐近线的位置，但不改变水平渐近线。
示例：反比例函数的伸缩
原函数 \( y = \dfrac{1}{x} \)，渐近线为 \( x = 0 \) 和 \( y = 0 \)。
垂直伸缩： \( y = 3 \cdot \dfrac{1}{x} = \dfrac{3}{x} \)，渐近线不变。
水平伸缩： \( y = \dfrac{1}{3x} \)，垂直渐近线变为 \( x = 0 \)（压缩），水平渐近线不变。