一、图像的伸缩变换
图像的伸缩变换是指函数图像沿垂直方向（y轴）或水平方向（x轴）按比例"拉长"或"压缩"，核心分为垂直伸缩与水平伸缩两类：
1. 垂直伸缩（Vertical Stretch）
若函数变为 \( y = a f(x) \)（\( a \) 为非零常数），图像是 \( y = f(x) \) 沿垂直方向以比例因子 \( a \) 伸缩：
当 \( |a| > 1 \)：图像沿y轴伸长（"拉长"，如抛物线开口变窄）；
当 \( 0 < |a| < 1 \)：图像沿y轴压缩（"变扁"，如抛物线开口变宽）；
当 \( a < 0 \)：先按 \( |a| \) 伸缩，再关于x轴反射（同时完成伸缩与翻转）。
示例：
若 \( f(x) = x^2 \)，则 \( y = 2f(x) = 2x^2 \) 是 \( y = x^2 \) 沿y轴伸长2倍（顶点仍在原点，开口更窄）；
\( y = -0.5f(x) = -0.5x^2 \) 是 \( y = x^2 \) 沿y轴压缩为原长的0.5倍，再关于x轴反射（顶点在原点，开口向下且更宽）。
💡 垂直伸缩要点：
- 伸长：|a| > 1，拉长图像
- 压缩：0 < |a| < 1，压缩图像
- 反射：a < 0，同时伴随反射
2. 水平伸缩（Horizontal Stretch）
若函数变为 \( y = f(ax) \)（\( a \) 为非零常数），图像是 \( y = f(x) \) 沿水平方向以比例因子 \( \frac{1}{a} \) 伸缩：
当 \( |a| > 1 \)：图像沿x轴压缩（"变窄"，如根号函数图像更紧凑）；
当 \( 0 < |a| < 1 \)：图像沿x轴伸长（"变宽"，如根号函数图像更展开）；
当 \( a < 0 \)：先按 \( |a| \) 伸缩，再关于y轴反射（同时完成伸缩与翻转）。
示例：
若 \( f(x) = \sqrt{x} \)（\( x \geq 0 \)），则 \( y = f(2x) = \sqrt{2x} \) 是 \( y = \sqrt{x} \) 沿x轴压缩为原长的 \( \frac{1}{2} \)（图像增长更快，定义域仍为 \( x \geq 0 \)）；
\( y = f(-\frac{1}{2}x) = \sqrt{-\frac{1}{2}x} \) 是 \( y = \sqrt{x} \) 沿x轴伸长2倍，再关于y轴反射（定义域变为 \( x \leq 0 \)，图像沿y轴左侧展开）。
💡 水平伸缩要点：
- 压缩：|a| > 1，图像变窄
- 伸长：0 < |a| < 1，图像变宽
- 反射：a < 0，同时伴随反射
- 比例因子：水平伸缩因子是 \( \frac{1}{|a|} \)，而非 |a|
二、伸缩变换的几何意义
📐 变换本质：
- 垂直伸缩：改变函数值比例，图像在垂直方向上拉伸或压缩
- 水平伸缩：改变自变量比例，图像在水平方向上拉伸或压缩
- 复合变换：垂直和水平伸缩可以组合使用
复合变换示例：
\( y = 2f(3x) \) 表示先水平压缩为 \( \frac{1}{3} \)，再垂直伸长2倍
🔍 特征变化：
伸缩变换改变图像的"胖瘦"程度，但不改变图像的基本形状和位置。
三、特殊函数的伸缩特征
1. 渐近线函数的伸缩
反比例函数、指数函数等有渐近线的函数，伸缩会改变渐近线的"陡峭程度"。
2. 交点函数的伸缩
与坐标轴有交点的函数，伸缩会改变交点的"y坐标"（垂直）或"x坐标"（水平）。
3. 多项式函数的伸缩
多项式函数的所有特征（根、拐点、极值）都会相应改变。
⚠️ 注意事项：
伸缩变换不改变函数的基本性质（如奇偶性、周期性），但会改变定义域和值域的范围。
四、伸缩变换的应用
图像调整：
通过伸缩变换，可以将函数图像调整到需要的形状和大小。
1. 确定需要的伸缩类型和比例；
2. 应用相应的变换公式；
3. 验证变换后的图像特征。
示例： 将 \( y = x^2 \) 调整为更宽的抛物线：
\( y = 0.5x^2 \)（垂直压缩）或 \( y = (\frac{1}{2}x)^2 \)（水平伸长）
总结
图像的伸缩变换是图象变换的重要组成部分，它建立了代数表达式的系数变化与几何形状变化的直接联系。
核心要点：
- 垂直伸缩：\( y = a f(x) \) → 沿y轴伸缩，|a|为比例因子
- 水平伸缩：\( y = f(ax) \) → 沿x轴伸缩，\( \frac{1}{|a|} \)为比例因子
- 反射效应：负系数同时伴随反射变换
- 广泛应用：适用于各种类型的函数图像调整
掌握伸缩变换规律，可以灵活调整函数图像的形状，为进一步学习复合变换和实际应用打下坚实基础。