Chapter Review 4 - 函数图像核心知识总结

### 函数图像核心知识总结

一、函数图像的基础特征

根与x轴交点

定义：若 \( p \) 是函数 \( f(x) \) 的根（即 \( f(p) = 0 \)），则 \( y = f(x) \) 的图像在点 \( (p, 0) \) 处与x轴接触或相交。

反比例函数的渐近线

类型：形如 \( y = \dfrac{k}{x} \) 和 \( y = \dfrac{k}{x^2} \)（\( k \) 为实常数）的函数图像。

渐近线：

垂直渐近线：\( x = 0 \)（y轴）
水平渐近线：\( y = 0 \)（x轴）

二、曲线交点与方程解的联系

        核心原理：曲线 \( y = f(x) \) 与 \( y = g(x) \) 的交点的x坐标，是方程 \( f(x) = g(x) \) 的实数解。即通过分析两曲线的交点，可直接得到对应方程的解的情况。
      

三、函数图像的变换（平移、伸缩、反射）

1. 平移变换

垂直平移

变换：函数 \( y = f(x) + a \) 的图像，是 \( y = f(x) \) 的图像沿向量 \( \begin{pmatrix} 0 \\ a \end{pmatrix} \) 平移的结果。

\( a > 0 \)：向上平移
\( a < 0 \)：向下平移

水平平移

变换：函数 \( y = f(x + a) \) 的图像，是 \( y = f(x) \) 的图像沿向量 \( \begin{pmatrix} -a \\ 0 \end{pmatrix} \) 平移的结果。

\( a > 0 \)：向左平移
\( a < 0 \)：向右平移

渐近线的平移

平移函数时，其渐近线会同步平移。

2. 伸缩变换

垂直伸缩

变换：函数 \( y = a f(x) \) 的图像，是 \( y = f(x) \) 的图像沿垂直方向以比例因子 \( a \) 伸缩。

\( |a| > 1 \)：伸长
\( 0 < |a| < 1 \)：压缩

水平伸缩

变换：函数 \( y = f(ax) \) 的图像，是 \( y = f(x) \) 的图像沿水平方向以比例因子 \( \dfrac{1}{a} \) 伸缩。

\( |a| > 1 \)：压缩
\( 0 < |a| < 1 \)：伸长

3. 反射变换

关于x轴反射

变换：函数 \( y = -f(x) \) 的图像，是 \( y = f(x) \) 的图像关于x轴反射的结果。

关于y轴反射

变换：函数 \( y = f(-x) \) 的图像，是 \( y = f(x) \) 的图像关于y轴反射的结果。

第四章学习要点总结

        🎯 核心技能掌握：
        ✅ 理解函数图像与方程解的对应关系
✅ 掌握反比例函数的渐近线特征
✅ 熟练运用平移、伸缩、反射变换
✅ 能分析复合变换的效果
✅ 理解变换对渐近线的影响

      

⚠️ 注意事项：

平移和伸缩的顺序会影响最终结果
渐近线在变换中会同步移动
伸缩变换中的比例因子要特别注意
反射变换会改变函数的对称性

总结：第四章主要学习了函数图像的各种变换法则，包括平移、伸缩和反射。这些变换是理解和绘制复杂函数图像的基础。通过掌握这些变换法则，可以轻松分析和预测函数图像的变化，为高等数学的学习打下坚实的基础。

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