直线斜率与方程应用练习题
1. 基础斜率计算
计算过下列两点的直线斜率：
(1) \( (3, 5) \) 和 \( (7, 9) \)；
答案： \( m = \dfrac{9 - 5}{7 - 3} = \dfrac{4}{4} = 1 \)
(2) \( (-1, 6) \) 和 \( (2, 0) \)；
答案： \( m = \dfrac{0 - 6}{2 - (-1)} = \dfrac{-6}{3} = -2 \)
(3) \( (5, -2) \) 和 \( (5, 3) \)（思考：这种情况斜率有何特殊之处？）。
答案： 分母 \( 5 - 5 = 0 \)，斜率不存在。这是一条垂直于x轴的直线（\( x = 5 \)）。
2. 已知斜率求点的坐标
已知直线过点 \( (1, 3) \) 和 \( (4, k) \)，且斜率为 \( 2 \)，求 \( k \) 的值。
解答：
斜率 \( m = \dfrac{k - 3}{4 - 1} = 2 \)
\( \dfrac{k - 3}{3} = 2 \)
\( k - 3 = 6 \)
\( k = 9 \)
3. 共线点证明
(1) 证明点 \( A(2, 3) \)、\( B(4, 4) \)、\( C(10, 7) \) 共线；
证明：
计算斜率 \( m_{AB} = \dfrac{4 - 3}{4 - 2} = \dfrac{1}{2} \)
斜率 \( m_{AC} = \dfrac{7 - 3}{10 - 2} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2} \)
由于 \( m_{AB} = m_{AC} = \dfrac{1}{2} \)，故三点共线。
(2) 证明点 \( A(-2a, 5a) \)、\( B(0, 4a) \)、\( C(6a, a) \)（\( a \neq 0 \)）共线。
证明：
计算斜率 \( m_{AB} = \dfrac{4a - 5a}{0 - (-2a)} = \dfrac{-a}{2a} = -\dfrac{1}{2} \)
斜率 \( m_{AC} = \dfrac{a - 5a}{6a - (-2a)} = \dfrac{-4a}{8a} = -\dfrac{1}{2} \)
由于 \( m_{AB} = m_{AC} = -\dfrac{1}{2} \)，故三点共线。
4. 直线方程的应用
已知直线斜率为 \( -3 \)，且与 \( y \)-轴交于 \( (0, 5) \)：
(1) 写出直线的斜截式方程；
答案： \( y = -3x + 5 \)
(2) 将其转化为一般式 \( ax + by + c = 0 \)（\( a, b, c \) 为整数）。
答案： \( 3x + y - 5 = 0 \)
解答：
从 \( y = -3x + 5 \) 移项得：
\( 3x + y - 5 = 0 \)
练习技巧与建议
练习要点：
- 熟练掌握两点式斜率公式的应用
- 理解斜率的几何意义（上升/下降的陡峭程度）
- 掌握点斜式方程的推导和应用
- 学会判断三点共线的斜率方法
- 理解斜截式与一般式的互化
通过这些练习，可以巩固直线斜率与方程的基本概念，为后续学习直线的平行、垂直等性质打下坚实的基础。