📚 教材全解

一、教材全解（直线的斜率与方程 \( y = mx + c \)）

1. 直线的斜率（Gradient）

直线的斜率描述了直线的"倾斜程度"，可通过两点的垂直距离与水平距离的比值计算。

几何意义：分子 \( y_2 - y_1 \) 是两点的垂直变化量（纵坐标差），分母 \( x_2 - x_1 \) 是水平变化量（横坐标差），斜率即"垂直变化率与水平变化率的比值"。

2. 直线的方程形式：\( y = mx + c \)

直线的斜截式方程为 \( y = mx + c \)，其中：

• \( m \) 是直线的斜率；
• \( c \) 是直线与 \( y \)-轴交点的纵坐标（即 \( y \)-截距）。

此外，直线方程还可表示为一般式 \( ax + by + c = 0 \)（\( a, b, c \) 为整数）。

3. 共线（Collinear）点的判断

若三点 \( A, B, C \) 共线，需满足：直线 \( AB \) 的斜率 = 直线 \( AC \) 的斜率（或直线 \( AB \)、\( BC \) 斜率相等）。

二、章节练习（直线斜率与方程应用）

1. 基础斜率计算

计算过下列两点的直线斜率：

(1) \( (3, 5) \) 和 \( (7, 9) \)；

(2) \( (-1, 6) \) 和 \( (2, 0) \)；

(3) \( (5, -2) \) 和 \( (5, 3) \)（思考：这种情况斜率有何特殊之处？）。

2. 已知斜率求点的坐标

已知直线过点 \( (1, 3) \) 和 \( (4, k) \)，且斜率为 \( 2 \)，求 \( k \) 的值。

3. 共线点证明

(1) 证明点 \( A(2, 3) \)、\( B(4, 4) \)、\( C(10, 7) \) 共线；

(2) 证明点 \( A(-2a, 5a) \)、\( B(0, 4a) \)、\( C(6a, a) \)（\( a \neq 0 \)）共线。

4. 直线方程的应用

已知直线斜率为 \( -3 \)，且与 \( y \)-轴交于 \( (0, 5) \)：

(1) 写出直线的斜截式方程；

(2) 将其转化为一般式 \( ax + by + c = 0 \)（\( a, b, c \) 为整数）。

三、章节总结（核心要点与思想方法）

1. 核心公式与结论

• 斜率公式：\( m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)（两点 \( (x_1, y_1) \)、\( (x_2, y_2) \)）；
• 直线斜截式：\( y = mx + c \)（\( m \) 为斜率，\( c \) 为 \( y \)-截距）；
• 共线判断：三点中任意两点连线的斜率相等，则三点共线。

2. 思想方法

• 数形结合：通过"坐标点"与"直线斜率"的代数计算，反映直线的几何倾斜程度；
• 方程思想：用 \( y = mx + c \) 将直线的"斜率"与"截距"统一为代数方程，方便分析直线的位置特征。

3. 易错点

• 斜率公式中"分子、分母顺序"：需保持 \( (y_2 - y_1) \) 与 \( (x_2 - x_1) \) 的"对应性"，即同一起点的横、纵坐标差；
• 垂直于x轴的直线（如 \( x = a \)）：横坐标差为0，斜率不存在（此时直线无斜截式 \( y = mx + c \)）；
• 共线证明时，需确保计算的是"同三点中两两的斜率"，避免漏算或错选点。