直线方程的综合应用练习题
1. 过"直线与坐标轴交点"的直线方程
(1) 直线 \( y = -2x + 6 \) 与x轴交于 \( P \)，直线 \( y = \dfrac{3}{2}x - 4 \) 与y轴交于 \( Q \)，求过 \( P, Q \) 的直线方程；
解答：
先求P：令 \( y = 0 \)，\( 0 = -2x + 6 \)，\( x = 3 \)，故 \( P(3, 0) \)。
再求Q：令 \( x = 0 \)，\( y = 0 - 4 = -4 \)，故 \( Q(0, -4) \)。
过P、Q的直线斜率 \( m = \dfrac{-4 - 0}{0 - 3} = \dfrac{-4}{-3} = \dfrac{4}{3} \)。
用点斜式（用P点）： \( y - 0 = \dfrac{4}{3}(x - 3) \)，即 \( y = \dfrac{4}{3}x - 4 \)。
整理为一般式： \( -4x + 3y + 12 = 0 \)。
(2) 直线 \( y = 3x - 5 \) 与x轴交于 \( M \)，直线 \( y = -\dfrac{2}{3}x + \dfrac{2}{3} \) 与y轴交于 \( N \)，求过 \( M, N \) 的直线方程（结果用 \( ax + by + c = 0 \) 表示）。
解答：
先求M：令 \( y = 0 \)，\( 0 = 3x - 5 \)，\( x = \dfrac{5}{3} \)，故 \( M\left(\dfrac{5}{3}, 0\right) \)。
再求N：令 \( x = 0 \)，\( y = 0 + \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{3} \)，故 \( N\left(0, \dfrac{2}{3}\right) \)。
过M、N的直线斜率 \( m = \dfrac{\dfrac{2}{3} - 0}{0 - \dfrac{5}{3}} = \dfrac{\dfrac{2}{3}}{-\dfrac{5}{3}} = \dfrac{2}{3} \cdot -\dfrac{3}{5} = -\dfrac{2}{5} \)。
用点斜式（用N点）： \( y - \dfrac{2}{3} = -\dfrac{2}{5}(x - 0) \)，即 \( y = -\dfrac{2}{5}x + \dfrac{2}{3} \)。
整理为一般式： \( 2x + 5y - \dfrac{10}{3} = 0 \)，化为整数： \( 6x + 15y - 10 = 0 \)。
2. 过"两直线交点"的直线方程
(1) 直线 \( y = x - 5 \) 与 \( y = 3x - 13 \) 交于 \( S \)，点 \( T(-4, 2) \)，求过 \( S, T \) 的直线方程；
解答：
先求S：联立 \( x - 5 = 3x - 13 \)，得 \( -5 + 13 = 3x - x \)，\( 8 = 2x \)，\( x = 4 \)。
\( y = 4 - 5 = -1 \)，故 \( S(4, -1) \)。
过S、T的直线斜率 \( m = \dfrac{2 - (-1)}{-4 - 4} = \dfrac{3}{-8} = -\dfrac{3}{8} \)。
用点斜式（用T点）： \( y - 2 = -\dfrac{3}{8}(x + 4) \)，即 \( y = -\dfrac{3}{8}x - \dfrac{3}{2} + 2 = -\dfrac{3}{8}x + \dfrac{1}{2} \)。
整理为一般式： \( 3x + 8y - 4 = 0 \)。
(2) 直线 \( y = -2x + 1 \) 与 \( y = x + 7 \) 交于 \( L \)，点 \( M(-3, 1) \)，求过 \( L, M \) 的直线方程。
解答：
先求L：联立 \( -2x + 1 = x + 7 \)，得 \( 1 - 7 = x + 2x \)，\( -6 = 3x \)，\( x = -2 \)。
\( y = -2(-2) + 1 = 4 + 1 = 5 \)，故 \( L(-2, 5) \)。
过L、M的直线斜率 \( m = \dfrac{1 - 5}{-3 - (-2)} = \dfrac{-4}{-1} = 4 \)。
用点斜式（用M点）： \( y - 1 = 4(x + 3) \)，即 \( y = 4x + 12 + 1 = 4x + 13 \)。
整理为一般式： \( -4x + y - 13 = 0 \)。
3. 多直线的斜率与交点综合
直线 \( p \) 斜率为 \( \dfrac{2}{3} \) 且过 \( (6, -12) \)，直线 \( q \) 斜率为 \( -1 \) 且过 \( (5, 5) \)。直线 \( p \) 与y轴交于 \( A \)，直线 \( q \) 与x轴交于 \( B \)，求过 \( A, B \) 的直线的斜率。
解答：
先求A：直线p斜率 \( \dfrac{2}{3} \)，过 \( (6, -12) \)，方程 \( y + 12 = \dfrac{2}{3}(x - 6) \)。
与y轴交点：令 \( x = 0 \)，\( y + 12 = \dfrac{2}{3}(0 - 6) = \dfrac{2}{3}(-6) = -4 \)，故 \( y = -4 - 12 = -16 \)，\( A(0, -16) \)。
再求B：直线q斜率 -1，过 \( (5, 5) \)，方程 \( y - 5 = -1(x - 5) \)。
与x轴交点：令 \( y = 0 \)，\( 0 - 5 = -1(x - 5) \)，\( -5 = -x + 5 \)，\( -10 = -x \)，\( x = 10 \)，故 \( B(10, 0) \)。
过A、B的直线斜率 \( m = \dfrac{0 - (-16)}{10 - 0} = \dfrac{16}{10} = \dfrac{8}{5} \)。
练习技巧与建议
练习要点：
- 熟练掌握直线与坐标轴交点的求法
- 理解联立方程求两直线交点的过程
- 掌握点斜式和两点式的灵活运用
- 学会将方程整理为一般式的技巧
- 注意坐标系中x轴、y轴交点的几何意义
通过这些练习，可以全面掌握直线方程的综合应用，为后续学习直线的平行、垂直等性质打下坚实的基础。