📚 教材全解

直线方程的综合应用 - 掌握直线与坐标轴交点、两直线交点以及直线方程的推导方法

一、教材全解（直线方程的综合应用）

1. 直线与坐标轴的交点及方程推导

直线与坐标轴的交点是确定直线位置的关键：

与x轴交点：令 \( y = 0 \)，解出 \( x \)，得到交点 \( (x, 0) \)；
与y轴交点：令 \( x = 0 \)，解出 \( y \)，得到交点 \( (0, y) \)。

若已知直线的斜率和"与坐标轴的交点"，可通过点斜式 \( y - y_1 = m(x - x_1) \) 推导直线方程，再整理为一般式 \( ax + by + c = 0 \)（\( a, b, c \) 为整数）。

示例解析：
以直线 \( y = 3x - 9 \) 为例，求与x轴交点 \( A \)：令 \( y = 0 \)，得 \( 0 = 3x - 9 \)，解得 \( x = 3 \)，故 \( A(3, 0) \)。
若求过 \( A \) 且斜率为 \( \dfrac{2}{3} \) 的直线方程，代入点斜式得 \( y - 0 = \dfrac{2}{3}(x - 3) \)，整理为 \( -2x + 3y + 6 = 0 \)。

2. 两条直线的交点与过交点的直线方程

求两条直线的交点，需联立它们的方程，解二元一次方程组得到交点坐标。若已知另一个点，可结合"交点"与"该点"，通过两点式（先求斜率，再用点斜式）推导新的直线方程。

示例解析：
求直线 \( y = 4x - 7 \) 与 \( 2x + 3y - 21 = 0 \) 的交点 \( A \)，联立方程：
\[ \begin{cases} y = 4x - 7 \\ 2x + 3y - 21 = 0 \end{cases} \]
将 \( y = 4x - 7 \) 代入第二个方程，得 \( 2x + 3(4x - 7) - 21 = 0 \)，解得 \( x = 3 \)，再代入 \( y = 4x - 7 \) 得 \( y = 5 \)，故 \( A(3, 5) \)。
若有点 \( B(-2, 8) \)，则过 \( A, B \) 的直线斜率 \( m = \dfrac{8 - 5}{-2 - 3} = -\dfrac{3}{5} \)，代入点斜式（如用 \( A(3, 5) \)）得 \( y - 5 = -\dfrac{3}{5}(x - 3) \)，再整理为一般式。

二、章节练习（直线方程的综合应用）

1. 过"直线与坐标轴交点"的直线方程

(1) 直线 \( y = -2x + 6 \) 与x轴交于 \( P \)，直线 \( y = \dfrac{3}{2}x - 4 \) 与y轴交于 \( Q \)，求过 \( P, Q \) 的直线方程；

(2) 直线 \( y = 3x - 5 \) 与x轴交于 \( M \)，直线 \( y = -\dfrac{2}{3}x + \dfrac{2}{3} \) 与y轴交于 \( N \)，求过 \( M, N \) 的直线方程（结果用 \( ax + by + c = 0 \) 表示）。

2. 过"两直线交点"的直线方程

(1) 直线 \( y = x - 5 \) 与 \( y = 3x - 13 \) 交于 \( S \)，点 \( T(-4, 2) \)，求过 \( S, T \) 的直线方程；

(2) 直线 \( y = -2x + 1 \) 与 \( y = x + 7 \) 交于 \( L \)，点 \( M(-3, 1) \)，求过 \( L, M \) 的直线方程。

3. 多直线的斜率与交点综合

直线 \( p \) 斜率为 \( \dfrac{2}{3} \) 且过 \( (6, -12) \)，直线 \( q \) 斜率为 \( -1 \) 且过 \( (5, 5) \)。直线 \( p \) 与y轴交于 \( A \)，直线 \( q \) 与x轴交于 \( B \)，求过 \( A, B \) 的直线的斜率。

三、章节总结（核心要点与方法）

1. 核心操作步骤

求直线与坐标轴的交点：令 \( y = 0 \) 求x轴交点，令 \( x = 0 \) 求y轴交点；
求两直线的交点：联立两直线方程，解二元一次方程组；
推导过定点的直线方程：先确定点坐标（交点或与坐标轴的交点），再用点斜式（已知斜率和一点）或两点式（已知两点）写方程，最后整理为一般式 \( ax + by + c = 0 \)。

2. 思想方法

方程联立思想：通过联立直线方程求解交点，体现"几何交点"与"代数解"的统一；
数形结合思想：结合直线的斜率、交点的几何意义，辅助分析代数运算的方向。

3. 易错点

求直线与x轴交点时，误令 \( x = 0 \)（应令 \( y = 0 \)）；
联立方程求解交点时，计算错误（尤其是系数带分数或负数时）；
整理一般式时，符号错误或未将系数化为整数（需保证 \( a, b, c \) 为整数且互质）。