✏️ 章节练习

解答：
a. 化第二条直线为斜截式：\( 15x - 3y + 9 = 0 \) → \( -3y = -15x - 9 \) → \( y = 5x + 3 \)，斜率 \( m = 5 \)。
第一条直线斜率 \( m = 5 \)，故平行。

b. 化第一条直线为斜截式：\( 7x + 14y - 1 = 0 \) → \( 14y = -7x + 1 \) → \( y = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{14} \)，斜率 \( m = -\dfrac{1}{2} \)。
第二条直线斜率 \( m = \dfrac{1}{2} \)，故不平行。

解答：
化已知直线为斜截式：\( 4x - 3y - 8 = 0 \) → \( -3y = -4x + 8 \) → \( y = \dfrac{4}{3}x - \dfrac{8}{3} \)，斜率 \( m = \dfrac{4}{3} \)。
平行直线斜率也为 \( \dfrac{4}{3} \)，过 \( (2, 5) \)，用点斜式：\( y - 5 = \dfrac{4}{3}(x - 2) \)。
整理：\( y - 5 = \dfrac{4}{3}x - \dfrac{8}{3} \) → \( -\dfrac{4}{3}x + y - 5 + \dfrac{8}{3} = 0 \) → \( -\dfrac{4}{3}x + y - \dfrac{7}{3} = 0 \)。
乘以3：\( -4x + 3y - 7 = 0 \)。

解答：
第一条直线斜率 \( m_1 = \dfrac{1}{2} \)。
第二条直线：\( 2x - y + 4 = 0 \) → \( -y = -2x - 4 \) → \( y = 2x + 4 \)，斜率 \( m_2 = 2 \)。
斜率积 \( \dfrac{1}{2} \times 2 = 1 \neq -1 \)，故不垂直。

解答：
a. 求A：\( l_1 \) 与x轴交点，令 \( y = 0 \)：\( 5x + 0 - 7 = 0 \) → \( 5x = 7 \) → \( x = \dfrac{7}{5} \)，故 \( A\left(\dfrac{7}{5}, 0\right) \)。

b. \( l_1 \) 斜率：\( 5x + 11y - 7 = 0 \) → \( 11y = -5x + 7 \) → \( y = -\dfrac{5}{11}x + \dfrac{7}{11} \)，斜率 \( m_1 = -\dfrac{5}{11} \)。
\( l_2 \) 斜率 \( m_2 = -\dfrac{1}{m_1} = \dfrac{11}{5} \)。
过A点斜式：\( y - 0 = \dfrac{11}{5}\left(x - \dfrac{7}{5}\right) \) → \( y = \dfrac{11}{5}x - \dfrac{77}{25} \)。
一般式：\( -\dfrac{11}{5}x + y + \dfrac{77}{25} = 0 \) → 乘以25：\( -55x + 25y + 77 = 0 \)。

解答：
先求AB斜率：\( m_{AB} = \dfrac{0 - 4}{-3 - 0} = \dfrac{-4}{-3} = \dfrac{4}{3} \)。
再求BC斜率：B点\( (-3, 0) \)，C点\( (0, c) \)，\( m_{BC} = \dfrac{c - 0}{0 - (-3)} = \dfrac{c}{3} \)。
AB ⊥ BC，故 \( m_{AB} \cdot m_{BC} = -1 \)：\( \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{c}{3} = -1 \) → \( \dfrac{4c}{9} = -1 \) → \( 4c = -9 \) → \( c = -\dfrac{9}{4} \)。