一、教材全解（平行与垂直直线的核心知识）
1. 平行直线（Parallel Lines）
平行直线的核心特征是斜率相等。若直线 \( l_1: y = m_1x + c_1 \) 与 \( l_2: y = m_2x + c_2 \) 平行，则 \( m_1 = m_2 \)（若直线为一般式 \( ax + by + c = 0 \)，需先化为斜截式 \( y = mx + c \) 求斜率）。
示例：求与 \( 6x + 3y - 2 = 0 \) 平行且过 \( (0, 3) \) 的直线方程。
步骤：① 化斜截式：\( 6x + 3y - 2 = 0 \) → \( y = -2x + \dfrac{2}{3} \)，得斜率 \( m = -2 \)；② 平行直线斜率也为 \( -2 \)，且过 \( (0, 3) \)（y截距为3），故方程为 \( y = -2x + 3 \)。
2. 垂直直线（Perpendicular Lines）
垂直直线的斜率满足"负倒数关系"，核心结论：
- 若直线 \( l_1 \) 斜率为 \( m \)，则垂直直线 \( l_2 \) 斜率为 \( -\dfrac{1}{m} \)；
- 若两直线垂直，斜率之积为 \( -1 \)（即 \( m_1 \cdot m_2 = -1 \)）。
示例：判断 \( 3x - y - 2 = 0 \) 与 \( x + 3y - 6 = 0 \) 是否垂直。
步骤：① 化斜截式：\( 3x - y - 2 = 0 \) → \( y = 3x - 2 \)（\( m_1 = 3 \)）；\( x + 3y - 6 = 0 \) → \( y = -\dfrac{1}{3}x + 2 \)（\( m_2 = -\dfrac{1}{3} \)）；② 斜率积 \( 3 \times (-\dfrac{1}{3}) = -1 \)，故两直线垂直。
3. 垂直直线的方程推导
已知"垂直 + 过某点"，求直线方程的步骤：
① 求已知直线的斜率 \( m \)；② 计算垂直直线的斜率 \( -\dfrac{1}{m} \)；③ 用点斜式 \( y - y_1 = m(x - x_1) \) 代入点坐标，推导方程。
示例：求与 \( 2y - x - 8 = 0 \) 垂直且过 \( (5, -7) \) 的直线方程。
步骤：① 化斜截式：\( 2y - x - 8 = 0 \) → \( y = \dfrac{1}{2}x + 4 \)，斜率 \( m = \dfrac{1}{2} \)；② 垂直直线斜率为 \( -2 \)；③ 点斜式：\( y + 7 = -2(x - 5) \)，整理得 \( y = -2x + 3 \)。
二、章节练习（平行与垂直直线的应用）
1. 平行直线的判断与方程
(1) 判断直线对是否平行：
- a. \( y = 5x - 2 \) 与 \( 15x - 3y + 9 = 0 \)；
- b. \( 7x + 14y - 1 = 0 \) 与 \( y = \dfrac{1}{2}x + 9 \)。
(2) 求与 \( 4x - 3y - 8 = 0 \) 平行且过 \( (2, 5) \) 的直线（一般式 \( ax + by + c = 0 \)）。
2. 垂直直线的判断与方程
(1) 判断 \( y = \dfrac{1}{2}x \) 与 \( 2x - y + 4 = 0 \) 是否垂直；
(2) 已知 \( l_1: 5x + 11y - 7 = 0 \) 交x轴于 \( A \)，\( l_2 \perp l_1 \) 且过 \( A \)：
- a. 求 \( A \) 的坐标；
- b. 求 \( l_2 \) 的一般式方程。
3. 综合应用：垂直与坐标几何
点 \( A(0, 4) \)、\( B(-3, 0) \)，点 \( C(0, c) \) 在y轴上。若直线 \( AB \perp BC \)，求 \( c \) 的值。
三、章节总结（核心要点与方法）
1. 核心结论
- 平行：斜率相等（\( m_1 = m_2 \)）；
- 垂直：斜率积为 \( -1 \)（\( m_1 \cdot m_2 = -1 \)）或斜率为负倒数（\( m_2 = -\dfrac{1}{m_1} \)）。
2. 解题步骤
涉及"平行/垂直 + 直线方程"：
① 化已知直线为斜截式，提取斜率 \( m \)；
② 由"平行/垂直"确定新直线斜率；
③ 用点斜式结合"过某点"推导方程，整理为所需形式。
3. 思想方法
- 转化思想：将"平行/垂直"的几何关系转化为"斜率相等/斜率积为-1"的代数关系；
- 方程思想：通过直线形式的转换（斜截式、点斜式、一般式），建立条件与所求的联系。
4. 易错点
- 一般式化斜截式时符号错误；
- 垂直直线斜率计算错误（忘记负倒数）；
- 点斜式代入点坐标时符号错误。