距离与面积计算练习题
1. 基础距离计算
(1) 求下列两点间的距离：
a. \( (1, 2) \) 与 \( (4, 6) \)；
b. \( (-3, 5) \) 与 \( (2, -1) \)。
解答：
a. \( d = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)
b. \( d = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (-1 - 5)^2} = \sqrt{5^2 + (-6)^2} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61} \)
(2) 点 \( P \) 在直线 \( y = 4 - 3x \) 上，且到原点 \( O(0, 0) \) 的距离为 \( \sqrt{34} \)，求 \( P \) 的坐标。
解答：
设 \( P(x, y) \)，其中 \( y = 4 - 3x \)，且 \( \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{34} \)。
\( x^2 + (4 - 3x)^2 = 34 \)
\( x^2 + 16 - 24x + 9x^2 = 34 \)
\( 10x^2 - 24x + 16 = 34 \)
\( 10x^2 - 24x - 18 = 0 \)
\( 5x^2 - 12x - 9 = 0 \)
判别式 \( \Delta = 144 + 180 = 324 = 18^2 \)
\( x = \dfrac{12 \pm 18}{10} \)，\( x = 3 \) 或 \( x = -0.6 \)
当 \( x = 3 \)，\( y = 4 - 9 = -5 \)，点 \( (3, -5) \)
当 \( x = -0.6 \)，\( y = 4 - 3(-0.6) = 4 + 1.8 = 5.8 \)，点 \( (-0.6, 5.8) \)
2. 三角形的判定与面积
(1) 证明 \( \triangle ABC \) 是不等边三角形（三边长度均不同）；
已知三角形顶点为 \( A(2, 7) \)、\( B(5, -6) \)、\( C(8, -6) \)。
证明：
计算三边长度：
\( AB = \sqrt{(5-2)^2 + (-6-7)^2} = \sqrt{9 + 169} = \sqrt{178} \)
\( BC = \sqrt{(8-5)^2 + (-6 - (-6))^2} = \sqrt{9 + 0} = 3 \)
\( AC = \sqrt{(8-2)^2 + (-6-7)^2} = \sqrt{36 + 169} = \sqrt{205} \)
三边 \( \sqrt{178} \)，\( 3 \)，\( \sqrt{205} \) 均不同，故为不等边三角形。
(2) 计算 \( \triangle ABC \) 的面积。
已知三角形顶点为 \( A(2, 7) \)、\( B(5, -6) \)、\( C(8, -6) \)。
解答：
以BC为底：长度 \( 3 \)，高度为A的y坐标与BC的y坐标（-6）的差 \( 7 - (-6) = 13 \)。
面积 \( S = \frac{1}{2} \times 3 \times 13 = \frac{39}{2} = 19.5 \)
3. 直线交点与三角形面积综合
(1) 求 \( A \) 的坐标；
直线 \( l_1: y = 7x - 3 \) 与 \( l_2: 4x + 3y - 41 = 0 \) 交于 \( A \)。
解答：
联立：由 \( l_1 \) 得 \( y = 7x - 3 \)，代入 \( l_2 \)：
\( 4x + 3(7x - 3) - 41 = 0 \)
\( 4x + 21x - 9 - 41 = 0 \)
\( 25x - 50 = 0 \)
\( 25x = 50 \)
\( x = 2 \)
\( y = 7(2) - 3 = 11 \)，故 \( A(2, 11) \)
(2) 求 \( B \) 的坐标；
直线 \( l_2 \) 与x轴交于 \( B \)。
解答：
\( l_2 \) 与x轴交点：令 \( y = 0 \)，
\( 4x + 3(0) - 41 = 0 \)
\( 4x = 41 \)
\( x = \dfrac{41}{4} \)，故 \( B\left( \dfrac{41}{4}, 0 \right) \)
(3) 计算 \( \triangle AOB \) 的面积。
\( O \) 为原点。
解答：
以OB为底：长度 \( \dfrac{41}{4} \)，高度为A的y坐标 \( 11 \)。
面积 \( S = \frac{1}{2} \times \dfrac{41}{4} \times 11 = \frac{451}{8} = 56.375 \)
练习技巧与建议
练习要点：
- 熟练掌握两点距离公式的平方运算特性
- 理解三角形面积底高法的灵活选择
- 掌握直线交点的联立方程求解
- 学会坐标轴交点的代入求解方法
- 注意分数和小数的精确计算
通过这些练习，可以全面掌握距离与面积的计算技巧，为高等数学中的解析几何和微积分打下坚实的基础。