一、教材全解（距离与面积的核心知识）
1. 两点间距离公式
若平面直角坐标系中有两点 \( A(x_1, y_1) \) 和 \( B(x_2, y_2) \)，可将 \( AB \) 视为直角三角形的斜边，利用勾股定理推导两点间距离公式：
水平直角边长度为 \( |x_2 - x_1| \)，垂直直角边长度为 \( |y_2 - y_1| \)，因此距离 \( d \) 为：
\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
2. 坐标几何中的面积计算（以三角形为例）
计算由坐标点构成的三角形面积，常用"底×高"法：
- 步骤1：确定三角形的顶点坐标（若涉及直线，需联立方程求交点）；
- 步骤2：选择一条"水平或垂直的边"作为底，计算底的长度；
- 步骤3：计算对应底的高（垂直于底的距离，通常为顶点的纵坐标或横坐标差）；
- 步骤4：代入面积公式 \( S = \frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高} \) 计算。
3. 示例解析
两点间距离：求 \( (2, 3) \) 与 \( (5, 7) \) 的距离。
代入公式： \( x_1=2, y_1=3 \)；\( x_2=5, y_2=7 \)，则
\[
d = \sqrt{(5-2)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5
\]
三角形面积：直线 \( l_1: 4x - y = 0 \) 与 \( l_2: 2x + 3y - 21 = 0 \) 交于 \( A \)，\( l_2 \) 与x轴交于 \( B \)，求 \( \triangle AOB \) 的面积。
步骤1：联立 \( l_1 \) 与 \( l_2 \) 求 \( A \)：由 \( l_1 \) 得 \( y = 4x \)，代入 \( l_2 \) 得 \( 2x + 3(4x) - 21 = 0 \)，解得 \( x = \frac{3}{2} \)，\( y = 6 \)，故 \( A\left( \frac{3}{2}, 6 \right) \)。
步骤2：求 \( l_2 \) 与x轴交点 \( B \)：令 \( y = 0 \)，得 \( 2x - 21 = 0 \)，解得 \( x = \frac{21}{2} \)，故 \( B\left( \frac{21}{2}, 0 \right) \)。
步骤3：计算面积：以 \( OB \) 为底（长度 \( \frac{21}{2} \)），\( A \) 的y坐标 \( 6 \) 为高，因此
\[
S = \frac{1}{2} \times \frac{21}{2} \times 6 = \frac{63}{2}
\]
二、章节练习（距离与面积的应用）
1. 基础距离计算
(1) 求下列两点间的距离：
- a. \( (1, 2) \) 与 \( (4, 6) \)；
- b. \( (-3, 5) \) 与 \( (2, -1) \)。
(2) 点 \( P \) 在直线 \( y = 4 - 3x \) 上，且到原点 \( O(0, 0) \) 的距离为 \( \sqrt{34} \)，求 \( P \) 的坐标。
2. 三角形的判定与面积
已知三角形顶点为 \( A(2, 7) \)、\( B(5, -6) \)、\( C(8, -6) \)：
(1) 证明 \( \triangle ABC \) 是不等边三角形（三边长度均不同）；
(2) 计算 \( \triangle ABC \) 的面积。
3. 直线交点与三角形面积综合
直线 \( l_1: y = 7x - 3 \) 与 \( l_2: 4x + 3y - 41 = 0 \) 交于 \( A \)，\( l_2 \) 与x轴交于 \( B \)，\( O \) 为原点：
(1) 求 \( A \) 的坐标；
(2) 求 \( B \) 的坐标；
(3) 计算 \( \triangle AOB \) 的面积。