Chapter 5 综合练习题
第一部分：直线方程基础
1. 求直线方程
(1) 过点 \( (3, -2) \) 且斜率为 \( \dfrac{1}{2} \) 的直线方程；
(2) 过点 \( (-1, 4) \) 和 \( (2, -5) \) 的直线方程；
(3) 斜率为 \( -3 \) 且过点 \( (0, 7) \) 的直线方程。
解答：
(1) \( y + 2 = \dfrac{1}{2}(x - 3) \)，即 \( y = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{3}{2} - 2 = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{7}{2} \)
(2) 斜率 \( m = \dfrac{-5 - 4}{2 - (-1)} = \dfrac{-9}{3} = -3 \)
方程：\( y - (-5) = -3(x - 2) \)，即 \( y + 5 = -3x + 6 \)，\( y = -3x + 1 \)
(3) \( y - 7 = -3(x - 0) \)，即 \( y = -3x + 7 \)
2. 直线方程转换
将 \( y = 2x - 5 \) 化为一般式 \( ax + by + c = 0 \)；
将 \( 3x - 4y + 12 = 0 \) 化为斜截式 \( y = mx + c \)。
解答：
(1) \( y = 2x - 5 \) → \( -2x + y + 5 = 0 \)
(2) \( 3x - 4y + 12 = 0 \) → \( -4y = -3x - 12 \) → \( y = \dfrac{3}{4}x + 3 \)
第二部分：平行与垂直
3. 平行直线判断与方程
(1) 判断 \( y = 4x + 1 \) 与 \( 8x - 2y + 5 = 0 \) 是否平行；
(2) 求与 \( 2x + 3y - 6 = 0 \) 平行且过 \( (1, -2) \) 的直线方程。
解答：
(1) 第二条直线：\( 8x - 2y + 5 = 0 \) → \( -2y = -8x - 5 \) → \( y = 4x + \dfrac{5}{2} \)，斜率 \( 4 \)，与第一条斜率相同，故平行。
(2) 已知直线斜率：\( 2x + 3y - 6 = 0 \) → \( 3y = -2x + 6 \) → \( y = -\dfrac{2}{3}x + 2 \)，斜率 \( -\dfrac{2}{3} \)。
平行直线斜率也为 \( -\dfrac{2}{3} \)，过 \( (1, -2) \)：\( y + 2 = -\dfrac{2}{3}(x - 1) \) → \( y = -\dfrac{2}{3}x + \dfrac{2}{3} - 2 = -\dfrac{2}{3}x - \dfrac{4}{3} \)。
4. 垂直直线判断与方程
(1) 判断 \( y = -x + 3 \) 与 \( x + y - 1 = 0 \) 是否垂直；
(2) 求与 \( 3x - y + 2 = 0 \) 垂直且过 \( (4, 1) \) 的直线方程。
解答：
(1) 第一条斜率 \( -1 \)，第二条：\( x + y - 1 = 0 \) → \( y = -x + 1 \)，斜率 \( -1 \)，积 \( (-1) \times (-1) = 1 \neq -1 \)，故不垂直。
(2) 已知直线斜率：\( 3x - y + 2 = 0 \) → \( -y = -3x - 2 \) → \( y = 3x + 2 \)，斜率 \( 3 \)。
垂直直线斜率 \( -\dfrac{1}{3} \)，过 \( (4, 1) \)：\( y - 1 = -\dfrac{1}{3}(x - 4) \) → \( y = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{4}{3} + 1 = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{7}{3} \)。
第三部分：距离与面积
5. 两点间距离
求下列两点间的距离：
(1) \( (2, -3) \) 与 \( (5, 8) \)；
(2) \( (-4, 1) \) 与 \( (3, -7) \)。
解答：
(1) \( d = \sqrt{(5-2)^2 + (8-(-3))^2} = \sqrt{9 + 121} = \sqrt{130} \)
(2) \( d = \sqrt{(3-(-4))^2 + (-7-1)^2} = \sqrt{49 + 64} = \sqrt{113} \)
6. 三角形面积
求由点 \( A(-2, 3) \)、\( B(4, -1) \)、\( C(1, 5) \) 构成的三角形面积。
解答：
以AB为底：长度 \( d_{AB} = \sqrt{(4-(-2))^2 + (-1-3)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \)。
高度为C到AB的距离。AB斜率：\( m = \dfrac{-1-3}{4-(-2)} = \dfrac{-4}{6} = -\dfrac{2}{3} \)。
一般式：\( y - 3 = -\dfrac{2}{3}(x + 2) \) → \( 2x + 3y - 12 = 0 \)。
距离 \( d = \dfrac{|2(1) + 3(5) - 12|}{\sqrt{4+9}} = \dfrac{|-8|}{ \sqrt{13} } = \dfrac{8}{\sqrt{13}} \)。
面积 \( S = \dfrac{1}{2} \times 2\sqrt{13} \times \dfrac{8}{\sqrt{13}} = 8 \)。
第四部分：综合应用
7. 直线交点与几何关系
直线 \( l_1: 2x + y - 5 = 0 \) 与 \( l_2: 3x - 2y + 1 = 0 \) 交于 \( P \)，求过 \( P \) 且与 \( l_1 \) 垂直的直线方程。
解答：
先求P：联立 \( 2x + y = 5 \)，\( 3x - 2y = -1 \)。
乘第一式以2：\( 4x + 2y = 10 \)，加第二式：\( 7x = 9 \)，\( x = \dfrac{9}{7} \)。
\( y = 5 - 2 \cdot \dfrac{9}{7} = 5 - \dfrac{18}{7} = \dfrac{17}{7} \)，故 \( P\left( \dfrac{9}{7}, \dfrac{17}{7} \right) \)。
\( l_1 \) 斜率：\( 2x + y = 5 \) → \( y = -2x + 5 \)，斜率 \( -2 \)。
垂直斜率 \( \dfrac{1}{2} \)，过P：\( y - \dfrac{17}{7} = \dfrac{1}{2}\left( x - \dfrac{9}{7} \right) \)。
8. 几何作图与方程
在坐标平面上，点 \( A(0, 0) \)、\( B(6, 0) \)、\( C(0, 8) \)，直线 \( l \) 过 \( A \) 且与 \( BC \) 平行，求 \( l \) 与 \( y \) 轴的交点坐标。
解答：
BC从B(6,0)到C(0,8)，斜率 \( m = \dfrac{8-0}{0-6} = \dfrac{8}{-6} = -\dfrac{4}{3} \)。
\( l \) 过A(0,0)且与BC平行，斜率 \( -\dfrac{4}{3} \)，方程 \( y = -\dfrac{4}{3}x \)。
与y轴交点：\( x=0 \)，\( y=0 \)，即原点A。
练习技巧与建议
综合练习要点：
- 熟练掌握直线方程的三种形式及相互转换
- 理解平行垂直的斜率关系并能灵活应用
- 掌握两点距离和三角形面积的计算方法
- 学会联立直线方程求交点的技巧
- 注意坐标系中点、直线、距离、面积的综合应用
通过这些综合练习，可以全面掌握Chapter 5的直线与坐标几何知识，为后续学习更复杂的曲线方程打下坚实的基础。