单元总结：直线与坐标几何核心知识
一、直线的斜率与方程
1. 斜率（Gradient）
若直线经过两点 \( (x_1, y_1) \) 和 \( (x_2, y_2) \)，斜率公式为：
\[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]
斜率描述直线的"倾斜程度"，反映y随x的变化率。
2. 直线方程的形式
- 斜截式： \( y = mx + c \)，其中 \( m \) 为斜率，\( (0, c) \) 是y轴截距（直线与y轴的交点）。
- 一般式： \( ax + by + c = 0 \)（\( a, b, c \) 为整数，且 \( a, b \) 不同时为0），是直线的通用表达形式。
- 点斜式：若直线斜率为 \( m \)，且过点 \( (x_1, y_1) \)，则方程为 \( y - y_1 = m(x - x_1) \)。
二、直线的位置关系（平行与垂直）
1. 平行直线
两条直线平行，当且仅当斜率相等（即 \( m_1 = m_2 \)）。
2. 垂直直线
两条直线垂直，满足以下两个等价条件之一：
- 斜率为"负倒数"：若一条直线斜率为 \( m \)，则垂直直线的斜率为 \( -\frac{1}{m} \)；
- 斜率之积为 \(-1\)：即 \( m_1 \cdot m_2 = -1 \)。
三、坐标几何中的距离与交点
1. 两点间距离
若两点坐标为 \( (x_1, y_1) \) 和 \( (x_2, y_2) \)，则距离公式为：
\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
该公式由勾股定理推导，将两点连线视为直角三角形的斜边。
2. 直线的交点
两条直线的交点可通过联立直线方程（解二元一次方程组）求得，交点坐标同时满足两条直线的方程。
四、核心思想与应用
- 数形结合：将直线的"几何特征"（倾斜、平行、垂直、距离）转化为"代数运算"（斜率计算、方程联立、公式代入），实现几何与代数的互译。
- 方程思想：通过直线方程描述直线的位置，利用方程的"解"对应几何中的"点（交点、截距）"。
本单元围绕"直线的代数表达与几何特征"展开，是解析几何的基础，为后续复杂曲线（如圆、抛物线）的学习奠定了方法与思想基础。