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6.1 The Cosine Rule
余弦定理总结 - 快速回顾核心要点和易错点
核心公式回顾
求未知边（已知两边及夹角）
\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \]
适用条件：
已知两边及其夹角，求对角的边长
求未知角（已知三边）
\[ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \]
适用条件：
已知三角形三边，求某个角的大小
关键解题步骤
求边长步骤
标记字母：
正确识别边与对角的对应关系（边与对角同名）
选择公式：
使用 \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \) 公式
代入计算：
将已知数值代入公式，计算平方
开平方：
对结果开平方得到边长（注意有效数字）
求角度步骤
标记字母：
正确识别三边与对应角的关系
选择公式：
使用 \( \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \) 公式
计算余弦值：
代入已知边长计算 cos A
求角度：
使用反余弦函数 arccos() 求角度（0°~180°）
常见题型总结
余弦定理题型思维导图
基础题型
直接求边：
已知两边及夹角 → 计算第三边
直接求角：
已知三边 → 计算某个角
应用题型
方位问题：
结合方向和距离计算实际距离
几何问题：
在复合图形中应用余弦定理
方程题型
含未知数：
边长含变量，列出方程求解
验证问题：
验证是否满足三角形条件
常见错误提醒
易错点分析
字母混淆：
忘记"边与对角同名"的原则，导致公式用错
角度范围：
求得角度超出 0°~180° 范围，未检查三角形可能性
计算错误：
代入公式时正负号搞错，特别是 cos 值的使用
单位问题：
边长单位不统一，或角度单位混淆（度与弧度）
开方遗忘：
求边长时忘记开平方，直接给出平方值
解题技巧
快速解题技巧
字母标记：
画出三角形，明确标记边长和角度的对应关系
公式选择：
已知两边一角（夹角）→求边公式；已知三边→求角公式
特殊值：
当角度为90°时，余弦定理退化为勾股定理
有效数字：
注意计算结果的精度，保留合适的有效数字
三角形检验：
求得角度后，验证三个角度和是否为180°
知识点关联
与其它定理的关系
与勾股定理：
余弦定理是勾股定理的推广形式（当角度为90°时）
与正弦定理：
两者结合使用，常用于已知两角一边或复杂三角形问题
在坐标几何中：
可用于求两点间距离或向量的点积运算