余弦定理 - 三角形中边长与角度关系的计算方法详解
余弦定理有两种核心形式，用于解决三角形中未知边或未知角的问题：
若已知三角形的两边 \( b \)、\( c \)，以及它们的夹角 \( A \)，则对边 \( a \) 的长度满足：
（其中 \( a \) 是角 \( A \) 所对的边，字母可根据"边与对角同名"的规则替换。）
若已知三角形的三边 \( a \)、\( b \)、\( c \)，则角 \( A \)（对边为 \( a \)）的余弦值满足：
（同样，字母可根据"边与对角同名"的规则替换，用于求任意角。）
如"Example 1"：已知三角形的两边长度和它们的夹角，求第三边的长度。
（典型场景：三角形中，\( AC = 6.5\ \text{cm} \)，\( BC = 8.7\ \text{cm} \)，\( \angle ACB = 100^\circ \)，求 \( AB \) 的长。）
如"Example 2"：已知三角形的三边长度，求某个角的大小（常考"最小角"，因为最小角对最小边，计算时余弦值为正，更易分析）。
（典型场景：三角形三边为 \( 3\ \text{cm} \)、\( 5\ \text{cm} \)、\( 6\ \text{cm} \)，求最小角的大小。）
如"Example 3"：结合方位角（bearings）或其他实际背景，构造三角形，再用余弦定理求实际距离。
（典型场景：海岸警卫站 \( A \)、\( B \) 的位置关系已知，船 \( C \) 与 \( A \) 的距离和方位已知，求 \( C \) 与 \( B \) 的距离。）
如"Example 4"：三角形的边长含未知数（如 \( x \)），结合余弦定理列出方程（常为二次方程），求解未知数。
（典型场景：\( AB = x\ \text{cm} \)，\( BC = (x + 2)\ \text{cm} \)，\( AC = 5\ \text{cm} \)，\( \angle ABC = 60^\circ \)，求 \( x \) 的值。）