一、基础练习题（正弦定理基本应用）
练习1：已知两角及一边，求另一边
题目：在 \(\triangle ABC\) 中，\(\angle A = 35^\circ\)，\(\angle B = 55^\circ\)，边 \(c = 12\) cm，求边 \(a\) 和边 \(b\)。
解题步骤：
1. 首先求 \(\angle C = 180^\circ - 35^\circ - 55^\circ = 90^\circ\)
2. 使用正弦定理求边 \(a\)：\(\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}\)
3. \(\frac{a}{\sin 35^\circ} = \frac{12}{\sin 90^\circ} = \frac{12}{1} = 12\)
4. \(a = 12 \times \sin 35^\circ \approx 12 \times 0.5736 = 6.88\) cm
5. 求边 \(b\)：\(\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\)
6. \(b = 12 \times \sin 55^\circ \approx 12 \times 0.8192 = 9.83\) cm
练习2：已知两边及一角，求另一角
题目：在 \(\triangle DEF\) 中，边 \(d = 8\) cm，边 \(e = 10\) cm，\(\angle D = 42^\circ\)，求 \(\angle E\) 和 \(\angle F\)。
解题步骤：
1. 使用正弦定理求 \(\angle E\)：\(\frac{\sin E}{e} = \frac{\sin D}{d}\)
2. \(\frac{\sin E}{10} = \frac{\sin 42^\circ}{8}\)
3. \(\sin E = 10 \times \frac{\sin 42^\circ}{8} \approx 10 \times \frac{0.6694}{8} \approx 10 \times 0.0837 = 0.837\)
4. \(\angle E = \arcsin 0.837 \approx 57^\circ\)（锐角解）
5. 验证钝角解：\(180^\circ - 57^\circ = 123^\circ\)
6. 检查是否满足三角形结构：\(123^\circ + 42^\circ = 165^\circ < 180^\circ\)，两解均可
7. \(\angle F = 180^\circ - 42^\circ - 57^\circ = 81^\circ\)（锐角情况）或 \(180^\circ - 42^\circ - 123^\circ = 15^\circ\)（钝角情况）
练习3：实际应用题
题目：从A点看B点和C点，B点在东北方向距离5km，C点在东南方向距离7km。问从B点看C点的方向和距离。
解题步骤：
1. 东北方向为45°，东南方向为135°，因此 \(\angle BAC = 135^\circ - 45^\circ = 90^\circ\)
2. \(\triangle ABC\) 中已知AB = 5km，AC = 7km，\(\angle A = 90^\circ\)
3. 求BC：\(\frac{BC}{\sin 90^\circ} = \frac{7}{\sin 42^\circ}\)（需计算其他角）
4. 先求其他角：\(\tan B = \frac{7}{5}\)，\(\angle B = \arctan 1.4 \approx 54.5^\circ\)
5. \(\angle C = 180^\circ - 90^\circ - 54.5^\circ = 35.5^\circ\)
6. \(BC = \frac{5 \times \sin 35.5^\circ}{\sin 54.5^\circ} \approx 3.8\) km
二、综合练习题（正弦定理综合应用）
练习4：多边形中的三角形
题目：四边形ABCD中，对角线AC将它分成两个三角形。在\(\triangle ABC\)中，已知AB = 6，BC = 8，\(\angle ABC = 110^\circ\)。在\(\triangle ADC\)中，已知AD = 7，DC = 9，求\(\angle ADC\)。
解题步骤：
1. 在\(\triangle ABC\)中求AC：\(\angle B = 110^\circ\)，AB = c = 6，BC = a = 8
2. 求\(\angle A\)和\(\angle C\)：\(\frac{\sin A}{6} = \frac{\sin C}{8} = \frac{\sin 110^\circ}{a}\)
3. 先求边a（BC对\(\angle A\)）：a = BC = 8
4. \(\frac{\sin A}{6} = \frac{\sin 110^\circ}{8}\)
5. \(\sin A = 6 \times \frac{\sin 110^\circ}{8} \approx 6 \times \frac{0.9397}{8} \approx 0.7048\)
6. \(\angle A = \arcsin 0.7048 \approx 45^\circ\)
7. \(\angle C = 180^\circ - 110^\circ - 45^\circ = 25^\circ\)
8. 在\(\triangle ADC\)中，已知AD = 7，DC = 9，AC为已求出
9. 求\(\angle ADC\)：使用正弦定理，\(\frac{\sin (\angle ADC)}{AC} = \frac{\sin (\angle DAC)}{9}\)或类似比例
练习5：两解问题
题目：在\(\triangle XYZ\)中，已知边XY = 15，边XZ = 18，\(\angle X = 25^\circ\)。求\(\angle Y\)和\(\angle Z\)。
解题步骤：
1. 使用正弦定理：\(\frac{\sin Y}{18} = \frac{\sin 25^\circ}{15}\)
2. \(\sin Y = 18 \times \frac{\sin 25^\circ}{15} \approx 18 \times \frac{0.4226}{15} \approx 0.5071\)
3. \(\angle Y = \arcsin 0.5071 \approx 30.5^\circ\)（锐角解）
4. 钝角解：\(180^\circ - 30.5^\circ = 149.5^\circ\)
5. 检查三角形结构：
锐角情况：\(\angle Z = 180^\circ - 25^\circ - 30.5^\circ = 124.5^\circ\)
钝角情况：\(\angle Z = 180^\circ - 25^\circ - 149.5^\circ = 5.5^\circ\)
6. 两解均可能，需结合实际图形判断
练习6：两解情况的具体应用
题目：已知\(AB = 4\ \text{cm}\)，\(BC = 6\ \text{cm}\)，\(\angle ACB = 36^\circ\)，求\(\angle ABC\)的两个可能值。
解题步骤：
1. 标注：AB = c = 4，BC = a = 6，\(\angle C = 36^\circ\)，求\(\angle B\)
2. 正弦定理：\(\frac{\sin B}{a} = \frac{\sin C}{c}\)，即\(\frac{\sin B}{6} = \frac{\sin 36^\circ}{4}\)
3. \(\sin B = 6 \times \frac{\sin 36^\circ}{4} \approx 6 \times \frac{0.5878}{4} \approx 0.8817\)
4. 锐角解：\(B_1 = \arcsin 0.8817 \approx 61.9^\circ\)
5. 钝角解：\(B_2 = 180^\circ - 61.9^\circ = 118.1^\circ\)
6. 验证：两个角与36°的和均小于180°，均合理
练习7：导航定位问题
题目：船在海上航行，已知灯塔A和B相距12km。从船上看A在北偏东30°方向，距离8km；B在北偏西45°方向，距离10km。求船的位置（距离A和B的距离）。
解题步骤：
1. 画出三角形AB船，A到船距离8km，B到船距离10km，AB=12km
2. 船的位置是第三个顶点C
3. 使用余弦定理或正弦定理求解
4. 先用余弦定理求角度，再用正弦定理求边长
三、挑战练习题（正弦定理高级应用）
练习8：多三角形组合
题目：如图所示，有两个相邻的三角形ABC和BCD，AB = 5，BC = 7，CD = 6，DA = 8，求\(\angle ABC\)和\(\angle BCD\)。
练习9：圆周与三角形
题目：圆内接三角形ABC，已知弦AB = 10，BC = 12，CA = 8，求\(\angle BAC\)。
练习10：三维空间投影
题目：在三维坐标系中，三点A(0,0,0)，B(5,0,0)，C(0,6,0)，求在xy平面上投影的三角形面积。
练习11：不规则四边形
题目：不规则四边形ABCD，已知对角线AC = 15，BD = 18，相交于O，且AO = 6，BO = 7，CO = 9，DO = 11，求四边形面积。
练习12：实际工程中的两解问题
题目：起重机臂AB = 80 m（与水平成40°），钢缆AC = 60 m，求wrecking ball经过水平点时的旋转角x。
解题思路：
1. 将实际问题抽象为SSA三角形
2. 使用正弦定理求角的两个可能值
3. 计算旋转角（两个角的差值）
4. 结合物理实际选择合理解