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📚 教材全解

正弦定理 - 掌握三角形中边与角之间的重要比例关系及应用方法

一、教材全解（正弦定理的核心知识）

本节核心公式

正弦定理（The sine rule）用于求解三角形中缺失的边或角，核心公式为"边与对角的正弦值成比例"，有两种形式（本质等价，可相互变形）：

1. 求缺失的边

若三角形的边 \(a\)、\(b\)、\(c\) 分别对应角 \(A\)、\(B\)、\(C\)，则：

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

2. 求缺失的角

角与对边的正弦值成比例（由"求边公式"取倒数变形）：

\[ \frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c} \]

题目中的运用方法

1. 求边的步骤

2. 求角的步骤

核心概念：正弦定理的"两解情况"

当已知三角形的两条边和其中一条边的对角（即"SSA"条件）时，可能存在两个不同的三角形满足条件。原因是三角函数的性质：\(\sin \theta = \sin(180^\circ - \theta)\)（一个锐角\(\theta\)和它的补角\(180^\circ - \theta\)的正弦值相等）。此时，角可能为"锐角"或"钝角"，对应两种三角形结构（如图中\(C_1\)为钝角、\(C_2\)为锐角，且\(\angle AC_1B + \angle AC_2B = 180^\circ\)）。

解题方法（已知两边及其中一边的对角，求角）

  1. 标注边与角的对应关系：确定已知的边（如\(a, b\)）和对角（如\(\angle A\)）。
  2. 应用正弦定理：用比例式\(\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}\)，解出未知角的正弦值（如\(\sin B = \frac{b \sin A}{a}\)）。
  3. 求角的两个可能值：
    • 锐角解：\(B_1 = \arcsin\left(\frac{b \sin A}{a}\right)\)（范围\(0^\circ < B_1 < 90^\circ\)）。
    • 钝角解：\(B_2 = 180^\circ - B_1\)（范围\(90^\circ < B_2 < 180^\circ\)）。
  4. 验证合理性：结合"三角形内角和为\(180^\circ\)"和"大边对大角"，判断两个解是否能构成三角形。

可能出现的题型

1. 已知"两角及一边"，求另一边

Example 5：在 \(\triangle ABC\) 中，\(AB = 8\ \text{cm}\)，\(\angle BAC = 30^\circ\)，\(\angle BCA = 40^\circ\)，求 \(BC\) 的长度。
（思路：先由内角和求 \(\angle ABC\)，再用"求边公式"\(\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}\) 计算。）

2. 已知"两边及其中一边的对角"，求角（可能含"两解"）

练习题6：在 \(\triangle PQR\) 中，\(PQ = 15\ \text{cm}\)，\(QR = 12\ \text{cm}\)，\(\angle PRQ = 75^\circ\)，求另外两个角。
（思路：用"求角公式"时，需验证钝角是否符合三角形结构，判断是否为"两解"问题。）

3. 结合几何图形，求边或角

练习题7：给定含未知量 \(x\)、\(y\) 的三角形/组合图形，根据已知边、角，用正弦定理求未知量。

4. 实际应用（结合方位角、距离等场景）

练习题8：城镇 \(A\)、\(B\) 的方位和距离已知，城镇 \(C\) 相对于 \(A\)、\(B\) 的方位已知，求 \(C\) 到 \(A\) 或 \(B\) 的距离。
（思路：先根据方位角画出三角形，再用正弦定理求解。）

5. 正弦定理的两解情况

Example 7：在 \(\triangle ABC\) 中，\(AB = 4\ \text{cm}\)，\(AC = 3\ \text{cm}\)，\(\angle ABC = 44^\circ\)，求 \(\angle ACB\) 的两个可能值。
步骤：
- 标注：\(AB = c = 4\)，\(AC = b = 3\)，\(\angle B = 44^\circ\)，求 \(\angle C\)。
- 正弦定理：\(\frac{\sin C}{4} = \frac{\sin 44^\circ}{3}\)。
- 计算 \(\sin C\)：\(\sin C = \frac{4 \sin 44^\circ}{3} \approx 0.9263\)。
- 锐角解：\(C_1 = \arcsin(0.9263) \approx 67.9^\circ\)。
- 钝角解：\(C_2 = 180^\circ - 67.9^\circ \approx 112^\circ\)。
- 验证：两个角与 \(44^\circ\) 的和均小于 \(180^\circ\)，均合理。

二、章节练习（正弦定理的应用）

基础练习题

练习1：已知两角及一边，求另一边

在 \(\triangle ABC\) 中，\(\angle A = 35^\circ\)，\(\angle B = 55^\circ\)，边 \(c = 12\) cm，求边 \(a\) 和边 \(b\)。

练习2：已知两边及一角，求另一角

在 \(\triangle DEF\) 中，边 \(d = 8\) cm，边 \(e = 10\) cm，\(\angle D = 42^\circ\)，求 \(\angle E\) 和 \(\angle F\)。

练习3：实际应用题

从A点看B点和C点，B点在东北方向距离5km，C点在东南方向距离7km。问从B点看C点的方向和距离。

综合应用题

练习4：多边形中的三角形

四边形ABCD中，对角线AC将它分成两个三角形。在\(\triangle ABC\)中，已知AB = 6，BC = 8，\(\angle ABC = 110^\circ\)。在\(\triangle ADC\)中，已知AD = 7，DC = 9，求\(\angle ADC\)。

练习5：两解问题

在\(\triangle XYZ\)中，已知边XY = 15，边XZ = 18，\(\angle X = 25^\circ\)。求\(\angle Y\)和\(\angle Z\)。（注意可能的两解情况）

练习6：两解情况的应用

已知\(AB = 4\ \text{cm}\)，\(BC = 6\ \text{cm}\)，\(\angle ACB = 36^\circ\)，先证明\(\angle ABC \approx 25.8^\circ\)，再求\(AC\)。

练习7：多解三角形

两个三角形均满足\(AB = 4.5\ \text{cm}\)，\(BC = 6.8\ \text{cm}\)，\(\angle ACB = 30^\circ\)，求每个三角形的最大角。

练习8：实际应用中的两解

起重机臂\(AB = 80\ \text{m}\)（与水平成\(40^\circ\)），钢缆\(AC = 60\ \text{m}\)，求 wrecking ball 经过水平点时的旋转角\(x\)。

三、章节总结（核心要点与方法）

1. 核心公式总结

正弦定理：
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k \]

求角形式：
\[ \frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c} = \frac{1}{k} \]

2. 解题步骤总结

求边长：

  1. 标注已知角和边，确定对应关系
  2. 使用内角和180°补全未知角（如需要）
  3. 选择合适的比例式：\(\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}\)
  4. 代入数值求解

求角度：

  1. 标注已知边和角，确定对应关系
  2. 选择合适的比例式：\(\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}\)
  3. 求出未知角的正弦值
  4. 使用arcsin求角，注意两解情况

3. 思想方法

4. 两解情况的判断依据

三角函数性质：\(\sin \theta = \sin(180^\circ - \theta)\)

SSA条件：已知两边及其中一边的对角，可能产生两解
判断标准：锐角解 + 钝角解，需验证两个解均能形成有效三角形

5. 易错点分析