6.3 Areas of Triangles - 教材全解

本节核心公式

当已知三角形的两条边和它们的夹角时，三角形的面积公式为：

\[ \text{Area} = \frac{1}{2}ab \sin C \]

其中，\( a \)、\( b \) 是三角形的两条边，\( C \) 是这两条边的夹角。

（字母可互换，例如已知角 \( B \) 和边 \( a \)、\( c \)，公式可写为 \( \text{Area} = \frac{1}{2}ac \sin B \)，只需保证"两边夹已知角"即可。）

公式证明（辅助理解）

通过作三角形的高证明面积公式：

通过作三角形的高 \( h \)（如图，从 \( A \) 向 \( BC \) 作垂线，垂足为 \( X \)，高为 \( h \)）：

三角形面积的基本公式：\( \text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高} = \frac{1}{2}ah \)（底为 \( BC = a \)，高为 \( h \)）。
直角三角形中，由正弦定义：\( \sin C = \frac{h}{b} \)，因此 \( h = b \sin C \)。
代入面积公式：\( \text{Area} = \frac{1}{2}a \times (b \sin C) = \frac{1}{2}ab \sin C \)。

题目中的运用方法

步骤1：确定已知条件

找到三角形的两条边和它们的夹角（需确认边与角的"夹"关系）。

步骤2：代入公式计算

将两边长度和夹角的正弦值代入 \( \text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{边}_1 \times \text{边}_2 \times \sin(\text{夹角}) \)，计算面积；若已知面积，可反向列方程求解边或角。

步骤3：处理特殊情况

若求角且 \( \sin \theta = k \)（\( 0 < k < 1 \)），需结合三角形"边与角的大小关系"（大边对大角）判断角是锐角还是钝角（因为 \( \sin \theta = \sin(180^\circ - \theta) \)，可能有两解）。

可能出现的题型

1. 直接求三角形面积（已知两边及夹角）

示例：如 Example 8，已知 \( AB = 4.2\ \text{cm} \)，\( AC = 6.9\ \text{cm} \)，夹角 \( \angle A = 75^\circ \)，求面积。

方法：代入公式 \( \text{Area} = \frac{1}{2} \times 6.9 \times 4.2 \times \sin 75^\circ \)，计算得结果（保留3位有效数字）。

2. 已知面积、两边，求夹角

示例：如 Example 9，已知 \( AB = 5\ \text{cm} \)，\( BC = 6\ \text{cm} \)，面积 \( 12\ \text{cm}^2 \)，求夹角 \( x \)。

方法：代入公式 \( 12 = \frac{1}{2} \times 6 \times 5 \times \sin x \)，解得 \( \sin x = \frac{12 \times 2}{6 \times 5} = 0.8 \)，再结合"\( AC \) 是最长边"判断 \( x \) 是锐角还是钝角，最终确定 \( x \) 的值。

3. 含未知数的方程类问题（求边长或最值）

求未知边长

如练习题4，已知 \( BC = (x + 2)\ \text{cm} \)，\( AC = x\ \text{cm} \)，夹角 \( 150^\circ \)，面积 \( 5\ \text{cm}^2 \)，列方程 \( 5 = \frac{1}{2} \times x \times (x + 2) \times \sin 150^\circ \)，求解正数 \( x \)。

求面积的最值

如练习题5，已知两边含 \( x \)、夹角 \( 30^\circ \)，先推导面积表达式 \( A = \frac{1}{4}(10 + 3x - x^2) \)，再用配方法求 \( A \) 的最大值及对应 \( x \) 的值。

证明方程并求解

如练习题6，先利用面积公式证明 \( x \) 满足 \( x^2 + 5x - 15 = 0 \)，再解此二次方程（保留3位有效数字，且 \( x > 0 \)）。

注意事项

使用面积公式时，必须确保正确识别"两边夹已知角"的关系
计算时注意正弦函数的值域：\([-1, 1]\)，确保输入角度的合理性
求角时，可能存在两个解（锐角和钝角），需结合三角形边长关系判断
当夹角为90°时，公式退化为 \( \frac{1}{2}ab \)（勾股定理的推论）
计算时注意有效数字的保留和单位的一致性

示例解析

Example 8: 直接求三角形面积

已知 \( AB = 4.2\ \text{cm} \)，\( AC = 6.9\ \text{cm} \)，夹角 \( \angle A = 75^\circ \)，求三角形面积。

解答：使用公式 \( \text{Area} = \frac{1}{2} \times 4.2 \times 6.9 \times \sin 75^\circ \)

计算：\( \sin 75^\circ \approx 0.9659 \)，所以 \( \text{Area} \approx \frac{1}{2} \times 4.2 \times 6.9 \times 0.9659 \approx 14.0\ \text{cm}^2 \)

Example 9: 求夹角大小

已知 \( AB = 5\ \text{cm} \)，\( BC = 6\ \text{cm} \)，面积 \( 12\ \text{cm}^2 \)，求夹角 \( x = \angle ABC \)。

解答：使用公式 \( 12 = \frac{1}{2} \times 5 \times 6 \times \sin x \)

解得：\( \sin x = \frac{24}{30} = 0.8 \)，所以 \( x = \arcsin 0.8 \approx 53.13^\circ \) 或 \( 180^\circ - 53.13^\circ \approx 126.87^\circ \)

由于 AC 是最长边（需要计算得出），因此钝角可能性更大，\( x \approx 126.87^\circ \)