6.4 Solving Triangle Problems

核心思路

解三角形问题时，需综合运用 正弦定理、余弦定理、勾股定理 和 直角三角形的三角比（\(\sin\theta\)、\(\cos\theta\)、\(\tan\theta\)）。对于多边形（如四边形），可通过作对角线分解为多个三角形，再逐个求解。

若三角形为直角三角形，优先使用：

三角比：\(\sin\theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}\)，\(\cos\theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}\)，\(\tan\theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}\)；
勾股定理：\(a^2 + b^2 = c^2\)（\(c\)为斜边）。

需根据"已知边、角的组合"选择：

定理	适用场景（已知条件）	公式核心
正弦定理	① 两角及其中一角的对边； ② 两边及其中一边的对角	\(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\)
余弦定理	① 三边，求任意角； ② 两边及夹角，求第三边	\(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\); \(\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\)

优先尝试：\(\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高}\)（若易找底和对应高）；
已知"两边及夹角"时：\(\text{Area} = \frac{1}{2}ab \sin C\)（\(a, b\)为两边，\(C\)为夹角）。

示例：练习题13，\(\triangle ABC\)中\(AB = 14\ \text{cm}\)，\(BC = 12\ \text{cm}\)，\(CA = 15\ \text{cm}\)。

求角（如\(\angle C\)）：已知三边，用余弦定理\(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\)，代入计算后取反余弦。
求面积：用\(\text{Area} = \frac{1}{2}ab \sin C\)（先求角\(C\)，再代入两边及\(\sin C\)）。

示例：Example 10（四边形\(ABCD\)）、练习题14（花床为四边形）。

示例：练习题12，\(\triangle ABC\)周长\(15\ \text{cm}\)，\(AB = 7\ \text{cm}\)，\(\angle BAC = 60^\circ\)，求\(AC\)、\(BC\)和面积。

设未知量：设\(AC = x\)，则\(BC = 15 - 7 - x = (8 - x)\ \text{cm}\)。
列方程：用余弦定理列方程：\(BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos 60^\circ\)，代入\(BC = 8 - x\)，求解\(x\)。
求面积：用\(\text{Area} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin 60^\circ\)求面积。

示例：练习题15，正方形\(ABCD\)中求阴影三角形面积。

解三角形（或多边形分解后的三角形）的关键是：先判断三角形类型（直角/非直角），再根据"已知边、角的组合"选择定理（正弦/余弦/面积公式），逐步求解未知量；对于复杂图形，核心是"分解为三角形"，化繁为简。

Example 10: 四边形分解求解

四边形ABCD中，已知AB = 5 cm, BC = 8 cm, CD = 6 cm, DA = 7 cm，求对角线AC的长度。

解题思路：作对角线AC，将四边形分为△ABC和△ADC两个三角形。

步骤：