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6.5 Graphs of Sine, Cosine and Tangent

三角函数图像总结 - 快速回顾图像特征和应用要点

三角函数图像特征总览

函数 周期 振幅 零点 极值 渐近线 对称性
正弦函数
\( y = \sin \theta \)		 360° 1 0°, 180°, 360°, ... 最大值: 1 (90°)
最小值: -1 (270°)		 无 奇函数
\( \sin(-\theta) = -\sin \theta \)
余弦函数
\( y = \cos \theta \)		 360° 1 90°, 270°, 450°, ... 最大值: 1 (0°)
最小值: -1 (180°)		 无 偶函数
\( \cos(-\theta) = \cos \theta \)
正切函数
\( y = \tan \theta \)		 180° 无限制 0°, 180°, 360°, ... 无最大最小值 θ = 90° + 180°k 奇函数
\( \tan(-\theta) = -\tan \theta \)

核心记忆要点

关键数值记忆

  • 正弦函数：sin 0° = 0, sin 30° = 1/2, sin 45° = √2/2, sin 60° = √3/2, sin 90° = 1
  • 余弦函数：cos 0° = 1, cos 30° = √3/2, cos 45° = √2/2, cos 60° = 1/2, cos 90° = 0
  • 正切函数：tan 0° = 0, tan 30° = 1/√3, tan 45° = 1, tan 60° = √3
  • 特殊角度：0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270°, 360°

图像应用技巧

快速求解技巧

  • 利用周期性：三角函数按固定周期重复，找到一个解后可加减周期得到其他解
  • 利用对称性：奇函数和偶函数的对称性质帮助快速找到负角度对应的解
  • 零点判断：图像与x轴交点即函数值为零的角度位置
  • 极值识别：图像最高点和最低点对应的角度和函数值
  • 渐近线避开：正切函数在渐近线处无定义，解方程时需避开这些角度

常见错误提醒

易错点分析

  • 周期混淆：记错正弦/余弦（360°）和正切（180°）的周期
  • 对称性误用：错误使用奇函数或偶函数的对称性质
  • 零点遗漏：忘记某些零点位置或重复计算
  • 渐近线忽略：在正切函数求解中忽略渐近线导致错误
  • 范围错误：求解时超出题目指定的角度范围

解题流程图

标准解题步骤

  1. 识别函数类型：判断是正弦、余弦还是正切函数
  2. 确定已知条件：明确函数值和角度范围
  3. 利用图像特征：结合周期性、对称性、零点等特征求解
  4. 验证结果：将解代回原方程验证正确性
  5. 整理答案：按升序排列，给出所有符合条件的解

知识点关联

与其它章节的联系

  • 6.1-6.4 三角定理：图像帮助理解三角定理中角度的周期性
  • 三角方程：图像是求解三角方程的重要工具
  • 函数性质：图像直观展示三角函数的基本性质
  • 实际应用：三角函数图像在物理、工程等领域有广泛应用

快速记忆口诀

三角函数图像记忆法

正弦函数口诀

"正弦起零升，九十到顶峰，一百八十零，二百七十底，三百六十零"

余弦函数口诀

"余弦零度一，九十零，二百七十零，三百六十一"

正切函数口诀

"正切零度零，九十渐近线，一百八十零，二百七十渐近线"