一、教材全解（三角函数图像的变换类型）
核心知识点：三角函数图像的变换类型
三角函数图像（\( y = \sin \theta \)、\( y = \cos \theta \)、\( y = \tan \theta \)）可通过伸缩、平移、反射进行变换，具体类型及规律如下：
一、垂直变换（改变纵坐标，影响"高度"）
1. 垂直伸缩
形式：\( y = A \cdot \sin \theta \)、\( y = A \cdot \cos \theta \)、\( y = A \cdot \tan \theta \)。
作用：将原图像的纵坐标按比例伸缩（横坐标不变）。
- 若 \( |A| > 1 \)：图像"拉长"（如 \( y = 3\sin x \) 是 \( y = \sin x \) 垂直伸缩3倍，最大值从1变3）。
- 若 \( 0 < |A| < 1 \)：图像"压缩"（如 \( y = \frac{1}{2}\cos x \) 是 \( y = \cos x \) 垂直压缩为原来的\( \frac{1}{2} \)）。
2. 垂直平移
形式：\( y = \sin \theta + k \)、\( y = \cos \theta + k \)、\( y = \tan \theta + k \)。
作用：将原图像沿\( y \)-轴平移 \( k \) 个单位。
- \( k > 0 \)：向上平移；\( k < 0 \)：向下平移（如 \( y = -1 + \sin x \) 是 \( y = \sin x \) 向下平移1个单位）。
3. 垂直反射
形式：\( y = -\sin \theta \)、\( y = -\cos \theta \)、\( y = -\tan \theta \)。
作用：将原图像关于\( x \)-轴对称翻转（如 \( y = -\tan \theta \) 是 \( y = \tan \theta \) 上下颠倒）。
二、水平变换（改变横坐标，影响"周期、位置"）
1. 水平平移
形式：\( y = \sin(\theta + a) \)、\( y = \cos(\theta - a) \)、\( y = \tan(\theta + a) \)（\( a \) 为常数）。
作用：将原图像沿\( \theta \)-轴（\( x \)-轴）平移，遵循"左加右减"：
- \( \theta + a \)：向左平移 \( a \) 单位；
- \( \theta - a \)：向右平移 \( a \) 单位（如 \( y = \tan(\theta + 45^\circ) \) 是 \( y = \tan \theta \) 向左平移 \( 45^\circ \)）。
2. 水平伸缩
形式：\( y = \sin(b\theta) \)、\( y = \cos(b\theta) \)、\( y = \tan(b\theta) \)（\( b > 0 \)）。
作用：改变图像的周期，原周期（\( \sin/\cos \) 为 \( 360^\circ \)，\( \tan \) 为 \( 180^\circ \)）变为 \( \frac{\text{原周期}}{b} \)。
- 若 \( b > 1 \)：图像"压缩"（周期变小，如 \( y = \sin 2x \) 周期为 \( 180^\circ \)，是 \( y = \sin x \) 的一半）。
- 若 \( 0 < b < 1 \)：图像"拉伸"（周期变大，如 \( y = \cos \frac{\theta}{3} \) 周期为 \( 1080^\circ \)，是 \( y = \cos \theta \) 的3倍）。
3. 水平反射
形式：\( y = \sin(-\theta) \)、\( y = \cos(-\theta) \)、\( y = \tan(-\theta) \)。
作用：将原图像关于\( y \)-轴对称翻转。
- 余弦是偶函数（\( \cos(-\theta) = \cos \theta \)），反射后与原图像重合；
- 正弦、正切是奇函数（\( \sin(-\theta) = -\sin \theta \)，\( \tan(-\theta) = -\tan \theta \)），反射后等价于"垂直反射"。
练习题应用（典型题型）
练习题围绕"识别变换、画图、利用图像求参数/实际问题"展开，示例如下：
1. 识别变换，求图像关键点
示例：第7题，图像为 \( y = \cos(x + 30^\circ) \)，求：
- \( x \)-轴交点：解 \( \cos(x + 30^\circ) = 0 \)，结合 \( \cos \theta = 0 \) 时 \( \theta = 90^\circ + k \cdot 180^\circ \)，得 \( x + 30^\circ = 90^\circ + k \cdot 180^\circ \)，即 \( x = 60^\circ + k \cdot 180^\circ \)，结合区间 \( -360^\circ \leq x \leq 360^\circ \) 枚举解。
- \( y \)-轴交点：令 \( x = 0 \)，得 \( y = \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)，故坐标为 \( (0, \frac{\sqrt{3}}{2}) \)。
2. 根据图像，求变换参数
示例：第8题，图像为 \( y = \sin(x + k) \)，通过对比原 \( y = \sin x \) 的零点（如原过 \( (0, 0) \)），观察图像平移方向与距离，确定 \( k \)（如 \( k = 30^\circ \)，因图像向左平移了 \( 30^\circ \)）。同时，利用正弦周期性，\( k \) 可相差 \( 360^\circ \) 的整数倍，故有多个解。
3. 实际应用：三角函数模型
示例：第9题，水深度模型 \( y = \sin(30t) \)（\( t \) 为小时）：
- 画图：分析水平伸缩（\( b = 30 \)，周期为 \( \frac{2\pi}{30} = \frac{\pi}{15} \) 小时），在 \( 0 \leq t \leq 6 \) 内重复多次。
- 解不等式："至少半满"即 \( \sin(30t) \geq \frac{1}{2} \)，结合正弦图像，解为 \( 30^\circ + k \cdot 360^\circ \leq 30t \leq 150^\circ + k \cdot 360^\circ \)，转换为时间并结合 \( t \in [0, 6] \)，得到具体时刻。
二、章节练习（三角函数图像变换的应用）
基础练习题
练习1：垂直变换
比较 \( y = 2\sin x \) 和 \( y = \sin x \) 的图像差异，描述变换类型和效果。
练习2：水平变换
比较 \( y = \cos(2x) \) 和 \( y = \cos x \) 的图像差异，描述变换类型和效果。
练习3：复合变换
分析 \( y = -2\sin(x + 45^\circ) + 1 \) 的变换过程，描述每个变换步骤的效果。
综合应用题
练习4：求图像关键点
对于函数 \( y = \cos(x - 60^\circ) \)：
(1) 求在区间 \([-360^\circ, 360^\circ]\) 内与x轴的交点；
(2) 求与y轴的交点；
(3) 求最大值和最小值。
练习5：求变换参数
已知函数 \( y = \sin(x + k) \) 的图像与 \( y = \sin x \) 相比向左平移了 \( 30^\circ \)，求 \( k \) 的可能值。
练习6：周期计算
求函数 \( y = \tan(3x) \) 的基本周期，并与原函数 \( y = \tan x \) 比较。
实际应用题
练习7：潮汐模型
某海湾潮汐高度（米）随时间变化的模型为 \( y = 3\sin\left(\frac{\pi t}{6}\right) + 4 \)，其中 t 为小时。
(1) 求潮汐的周期；
(2) 求潮汐高度的变化范围；
(3) 求从 t=0 开始第一次达到最高潮的时间。
练习8：声波分析
声波振动模型 \( y = 0.5\cos(440\pi t) \) 表示440Hz的音调。
(1) 求振动周期；
(2) 求振幅；
(3) 求第一个振动周期内振幅最大值出现的时间。
三、章节总结（核心要点与方法）
1. 变换类型总结
垂直变换：
- 伸缩：\( y = A \cdot f(x) \)（A影响高度）
- 平移：\( y = f(x) + k \)（k影响位置）
- 反射：\( y = -f(x) \)（上下翻转）
水平变换：
- 伸缩：\( y = f(bx) \)（b影响周期）
- 平移：\( y = f(x \pm a) \)（±a影响位置）
- 反射：\( y = f(-x) \)（左右翻转）
2. 周期计算公式
正弦/余弦函数周期：原周期 \( 360^\circ \) 或 \( 2\pi \)，变换后 \( \dfrac{360^\circ}{b} \) 或 \( \dfrac{2\pi}{b} \)
正切函数周期：原周期 \( 180^\circ \) 或 \( \pi \)，变换后 \( \dfrac{180^\circ}{b} \) 或 \( \dfrac{\pi}{b} \)
3. 思想方法
- 变换分解：将复合变换分解为基本变换的组合，便于理解和应用
- 图像识别：通过对比原图像和变换图像的特征，识别变换类型和参数
- 数形结合：利用图像特征辅助计算，结合函数性质求解
- 实际建模：将现实问题转化为三角函数模型，通过变换参数反映实际特征
4. 易错点分析
- 平移方向混淆：记住"左加右减"，\( f(x + a) \) 左移，\( f(x - a) \) 右移
- 周期计算错误：注意区分正弦/余弦（周期 \( 2\pi \)）和正切（周期 \( \pi \)）
- 反射性质不明：余弦函数关于y轴对称，正弦和正切关于原点对称
- 复合变换顺序：变换顺序会影响最终结果，先水平后垂直或相反